Вопрос 6 Теория систем линейных алгебраических уравнений(слау)

Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными x₁…x_n:

1. Очевидно, что x₁…x_n входят в каждой уравнение линейно

Пусть а_ij коэф-ты уравнений. Из них можно составить матрицу А=

Опр. (1) называется СЛАУ, А-матрица системы. Столбец = -столбец свободных членов.

Опр. Упорядоченный набор чисел наз. частным решением СЛАУ, если при подстановке каждое уравнение имеет истинное равенство

Опр. СЛАУ – совместная, если она имеет хотя бы одно частное решение. Наоборот, СЛАУ – несовместная

Опр. Совокупность всех частных решений СЛАУ называется общим решением

Опр. Две СЛАУ относительно одного и того же количества неизвестных называются эквивалентными, если их общие решения совпадают. В частности, если они обе несовместные.

Если рассмотрим = - столбец неизвестных, то СЛАУ можно записать в виде (2) А . Другое эквивалентное представление СЛАУ (1) (3) x₁ +…+ x_n = . Тогда решение можно трактовать как коэффициенты Л.К. столбцов А, которые дает столбец

Опр. Если рассматривать СЛАУ в матричной форме (2) , то решением назовем столбец = при подстановки в (2) вместо получим равные столбцы А

Квадратные СЛАУ. Правило Крамера.

Рассмотрим (1) А , где А=

Опр. Такая СЛАУ квадратная

Теор. (Правило Крамера) Если

где - определитель матрицы, полученный из А заменой к-го столбца на

Док-во:

1. Рассм. А^Т= – транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы А. А^ТА= = . С другой стороны = =

Рассмотрим (1) А домножим обе части на А^Т, тогда А^Т(А (А^ТА . С другой стороны . Таким образом, при

2. Докажем единственность(т.е. то,что из существующих двух решений следует их равенство).

Пусть и - - А = , - - - -

- =

Сл. (О несовместимости) Если , а хотя бы один , то квадратная СЛАУ несовместна.

Док-во:

Т.к. в (2) получим , т.е. – противоречие.

Вопрос 7

Рассмотрим СЛАУ

1. 

Опр. А- основная матрица системы (1). .

Опр. наз. расширенной матрицей системы (1). Об. (А|b).

Опр. – столбец-решение (частное) СЛАУ (1), если столбцы равны.

Совокупность всех частных решений-столбцов есть общее решение.

Опр. Системы эквивалентны, если и их общие решения совпадают. (При этом не обязательно . Об. .

Опр. Элементарными преобразованиями (ЭП) системы (1) наз. след. Преобразования:

1. Перестановка местами двух уравнений

2. Умножение обеих частей некоторого уравнения на число ≠ 0

3. Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на любое число

Т. (Об ЭП СЛАУ) Элементарные преобразования приводят СЛАУ к эквивалентной.

Док-во:

1. Если одно из ур-ий СЛАУ переставить с другим ур-ем этой же СЛАУ, ее реш-я не изм-ся, значит, будет пол-на с-ма, эквив. данной

2. Если обе части одного из ур-ий СЛАУ умножить на одно и тоже число, не равное нулю, то реш-я СЛАУ не изм-ся, значит, будет пол-на с-ма, эквив. данной

3. Если к одному ур-ию прибавить другое, умноженное на нек. число, то реш-я СЛАУ не изм-ся, значит, будет пол-на с-ма, эквив. данной

Замечание. Указанные ЭП соответствуют элементарным преобразованием строк расширенной матрицы системы. Отсюда вытекает метод (алгоритм) исследования (решения) СЛАУ.

Метод (алгоритм) Гаусса

1. Элементарными преобразованиями приводим расширенную матрицу СЛАУ к такому виду, чтобы А приводилась к ТФ: .

Замечание. Мы считаем, что в исходной системе переменные занумерованы так, чтобы для приведения к ТФ не требовалась бы переставлять столбцы. Если же это не так, то перенумеруем переменные так, чтобы столбцы переставлять не пришлось, или, что то же самое, при перестановке столбцов в области основной матрицы сверху надписываем имена переменных. Последний отчеркнутый столбец не переставляем никогда.

2. Пусть Rg A = r. Тогда после преобразований получим:

, где . Имеем две эквивалентные системы (1) .

3. Если , то (2) несовместна, т.к. в ней будет уравнение тоже несовместна, т.к. эквивалентна (2). Если же , то (2) совместна. Покажем это:

# Продолжим в (*) ЭП до получения в левом верхнем углу единичной матрицы порядка 2. (Там стоит ненулевой минор порядка 2, поэтому это возможно). Получим:

, причем (3) будет эквив. (1) и (2) (т.к. получена из них посредство ЭП). Перепишем (3) в виде: (4) . Придавая переменным (к-ые наз. свободными) произвольные значения, получим по ним значения переменных (к-ые наз. главными). Т.о., что (4) дает решения с-мы (3) и с-мы (2) и с-мы (1). В получении такого решения (или в установлении факта несовместности исх. с-мы) и состоит метод Гаусса. Покажем, что (4), где дает общее решении с-мы (1). Во-первых, какие-бы значения свободных переменных мы не взяли, посчитав по ним главные получим решения: , где - произвольные постоянные.

С другой стороны, покажем, что любое решение (1) можно получить из (4). В самом деле, пусть – произвольное решение (1). Тогда оно явл. и реш-м с-м (2) и (3). Придадим св. пер. значения соотв., т.е. . Но из (3) пер. опр. однозначно, при этом дают решения если , то . Т.о., чтобы получить решение нужно свободным переменным придать значения . Значит, любое решение (1) из (4) м.б. получено. Значит, всевозможные решения с-мы (1) исчерпываются реш-ми, найденными по ф-ле (4) при том, что независимо друг от друга принимают произвольные значения (т.е. фактически явл-ся параметрами и мы имеем n-r параметрическое общее решениее). #

, где - произвольные постоянные. Общее решение СЛАУ (1) –

n-r параметрическое мн-во.