Вопрос 4 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы

К элементарным преобразованиям строк(столбцов) относят:

1. Перестановку строк(столбцов);

2. Умножение любой строки(столбца) на число не равное нулю;

3. Прибавление к одной строке(столбцу) другую строку(столбец) умноженную на любое число

Теор. (О сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях)

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы

Док-во: 1),2) очевидно, так как не изменяется ЛНЗ число строк(столбцов). Рассмотрим 3). Докажем для строк. БОО, что А~B (пусть рангА=r)

Рассмотрим произвольный минор r+1 матрицы В(если он существует) . Возможны 3 случая:

1. Этот минор не содержит строку , тогда =0

2. Содержит 1 строку, но не содержит = + =0+ =0

3. Содержит , тогда = + , где С- матрица r+1 порядка у которой две одинаковые строки , ⇒если существует ⇒RgB≤RgA. Аналогично В~А⇒RgА≤RgВ, получаем, что ⇒RgВ=RgA

Опр. Будем говорить, что А= имеет трапецевидную форму(ТФ), если либо А = , либо r , т.е. А имеет вид А=

Теор. (О привидении матрицы к ТФ)

Любая А= может быть приведена к ТФ путем элементарных преобразований

Док-во: Если А= она уже имеет ТФ. Пусть А . Тогда Путем перестановки строк и столбцов матрицы А, поместим его в левый верхний угол. Получим матрицу В: b₁₁=a_ij

B= Далее i , сделаем элементарные преобразования в результате получим матрицу В`= .Если А1= , то ТФ получена. Если А1 , то проведем аналогичные преобразования со строками и столбцами матрицы B`, начиная с i=2 и j=2 . Действуя дальше аналогичным образом, не более чем за m шагов получим ТФ

След. (способ вычисления ранга путем элементарных преобразований)

А~А`, где A` имеет ТФ, RgA=RgA`=r.

Док-во:

С помощью ЭП приведем матрицу А к ТФ A` (по теореме это возможно). Т.к. ЭП не изменяют ранг матрицы => RgA=RgA`=r

Вопрос 5 Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований

Пусть А= , B= , C=

Теор. А приводится элементарными преобразованиями только лишь строк к Е=

Док-во:

. Тогда переставим 1-ую и i-ую строки, чтобы оказался в левом верхнем углу. Тогда А перейдет в В: А В и . Далее умножим строку на . В результате В перейдет в С: .

Далее вычтем последовательно из строк строку , умноженную на . В результате С перейдет в D (C D):

Имеем .

Теперь продолжаем процедуру, аналогичную описанной выше, с матрицей А₁. Получим:

Аналогично

Продолжаем действия с А₂ и т.д. … Через конечное число шагов получим верхнюю треугольную матрицу , которая имеет ниже главной диагонали нули, а на главной диагонали – единицы. Мы завершили прямой ход гауссова исключения – обнулили элементы ниже главной диагонали. Теперь начинаем обратный ход – обнуляем элементы выше главной диагонали. Для этого последовательно из строк вычтем строку , умноженную соотв. на . Тогда А’ перейдет в B’ (А’ В’):

- подматрица с единицами на гл. диаг. И нулями ниже гл. диаг. Проделываем с ней аналогичную процедуру и т.д. Через конечное число шагов получим Е.

Лемма. Любое элементарное преобразование со строками матрицы А (А= ) реализуется путем умножения матрицы А слева на некоторую квадратную матрицу.

Док-во:

Рассмотрим квадратную матрицу , все элементы которой есть нули, за исключением одного элемента, стоящего на пересечении p-ой строки и q-ого столбца. Этот элемент равен единице. Таким образом, . Непосредственным умножением убеждаемся, что

p-ая строка. Т.е. в результате такого умножения получается квадратная матрица, в p-ой строке которой стоит q-ая строка исходной матрицы А, а остальные строки – нулевые. Самостоятельно проверить, что (на экзамене спрошу!!!):

1. Перестановка i-ой и j-ой строк матрицы А осущ. путем умножения её слева на .

2. Умножение i-ой строки А на число осущ. путем умножения её слева на

3. Прибавление к i-ой строке матрицы А её j-ой строки, умноженной на любое число , осущ. путем умножения её слева на .

Теор. Пусть det A , А приводится к Е умножением слева на P₁, P₂, … , P_l, т.е. P_l(… P₂(P₁(A)…)=E. Тогда А^-1=P_l(…P₂(P₁E)…), т.е. теми же преобразованиями строк, которыми А приводится к Е, Е приводится к А^-1.

Док-во:

А приводится к Е элемент. преобразованиями строк . Пусть . Тогда . Из ассоциативности матр. умн.: . Итак .

След1. (А|E) – матрица размеров m*2n. Если (А|E) ~ (E|B) (только строк), то В=А^-1

Док-во:

След2. А= , B= Если (А|В) ~ (E|С) ( только строк), то С=А^-1В

Док-во:

След3. = . Если (A| ~ (E| ) ( только строк), то А^-1

Док-во: