Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых (симм.) матриц

Лемма. А- самосопр.

Док-во:

Следует из св-в самосопр оператора.

Если А – норм. ОНБ из его с.в. Пусть они отвечают с.з. .

Пусть

А=А*.

Т. 1) У любого самосопряж. оператора ОНБ из с.в. и все его с.з. вещественны (в ).

2) Для любой эрмитовой матрицы

и Т*ВТ= (причем все – действит.)

Док-во:

Следует из леммы и спектр. теоремы для норм. операторов.

Т. (Спектр. теорема для самосопр. операторов в и симм. матриц) (без доказательства)

1) Для самосопр. А в ОНБ из его с.в. и у него ровно n действ. с.з. с учетом из кратности.

2) симм. матр. ортог. матрица и ВТ= (причем все – Re)

Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных (ортог.) матриц

Лемма. А – унитарен

Док-во

Следует из св-в унит. опер.

А – норм. ОНБ из с.в. . Пусть произвольный ( I, аналог.

А =I А – унит.

Т. 1) Для А – унит. в ОНБ из его с.в. и все его с.з .

2) Для унитарной (ортог.) матрицы В – унитарная: , где , причем Т*ВТ= при этом все

Док-во:

Следует из леммы и спектр. теоремы для норм. операторов.

Замечание. Для ортог. операторов (т.е. в ) спектр. теорема, вообще говоря, неверна, т.к. есть ортог. операторы, не имеющие ни одного с.з., например, оператор поворота на плоскости (на угол ).

Вопрос 50 Приведение эрмитовой квадратичной формы к главным осям унитарным преобразованием

Опр. Функция К: называется эрмитовой квадратичной формой (ЭКФ), если эрмитова полуторалинейная форма (ЭПФ) В(х, у) .

Лемма. Для и в любом ОНБ (Их матрицы с точностью до компл. сопр. совпадают)

Док-во:

Для любой ПФ ЛО А: В(х, у) = (х, А(у)) (см. раньше). Тогда , т.е. А – самосопр.

Пусть – произв. ОНБ. , причем , где .

Лемма 2. Для симм. БФ в , и в ОНБ .

Док-во: аналогично (самост.)

Т1.(О приведении)

Для любой ЭКФ К(х) в ОНБ , в котором (где .

Док-во:

Рассм. любую ЭКФ К(х) . По спектр. теореме для самосопр. оператора ОНБ из с.в. А.

Тогда .

Т2.

Док-во: (самост.)