Вопрос 47 Самосопряженные операторы

Опр. . называется самосопряженным оператором(ССО), если он совпадает со своим оператором : А=

Напомним, что действительная М= симметрична, если М=М^Т, для комплексной М= эрмитово симметрично, если

Теор. (Свойства ССО)

1. ССО – нормален обладает всеми свойствами НО

2. (в ) Все СЗ ССО действительны; (в Все корни характеристического уравнения ССО действительны

3. А – ССО (в (в )

Сл. В

Док-ва свойств:

1. А – ССО А= А А – нормальный оператор и обладает всеми свойствами НО

2. В Пусть СЗ А с СВ h. Тогда В примем утверждение без док-ва. Все корни характеристического уравнения действительны

3. E – ОНБ А= \

Вопрос 48

Унитарные (ортогональные) операторы.

Опр. называется ортогональным оператором (ОО) , если А

Опр. Действительная М= называется ортогональной, если ММ^Т=М^ТМ=Е, комплексная М= называется унитарной , если ММ^*=М^*М=Е

Опр. Углом между ненулевыми

Теор.(Свойства УО(ОО))

1. А – УО(ОО) – нормальный обладает всеми свойствами НО

2. УО(ОО) обратим

3. (cохранение скалярного произведения)

Сл1.

Сл2. Если

Сл3. Формулируется только для . В

4. УО (ОО) переводит ОНБ в ОНБ

5. А – УО (ОО)

Сл. Это верно в любом ОНБ

6. В В

Док-ва свойств:

1. А

2. А

3. 

Сл1.

Сл2.

Сл3. В

4. Поскольку сохраняется нормы всех элементов и их ортогональность, то ОНБ переходит в ОНБ под действием УО (ОО)

5. Пусть Е – ОНБ А

6. 

Если h – СВ ОО

Теор. (свойства унитарной (ортогональной) матриц)

1. Если М – унитарна (ортогональна), то (она обратима)

2. 

3. М= унитарная матрица , т.е. строки(столбцы) ортонормированны. Если же М= , то , т.е. строки(столбцы) ортонормированны.

4. Матрица перехода от ОНБ к ОНБ унитарна (в , ортогональна (в

Док-во:

1. М – унит. (ортог.)

2. 

для унитарных матриц. Для ортог. получим

3. 

Пусть унит. Для ортог. матриц аналогично. (самост.).

Замечание. Из этого св-ва следует, что строки и столбцы унит.(ортог.) матрицы представляют собой элементы ОНБ в (вернее координаты элементов в ОНБ).

4. В . Пусть

Тогда T – унит. В аналогично (самост.)

Замечание. Ортог. оператор в сводится к умножению любого элемента на 1 или -1, т.е. A=I или A= -I

Вопрос 49 Спектральная теорема для нормальных операторов и нормальных матриц

Пусть унит.,

Т. 1) Для любого нормального оператора А в ОНБ из с.в. А.

2) Для любой нормальной матрицы М унитарная матрица Т: , где

Т= , причем (грубо говоря явл. с.в. матрицы М, отвеч. с.з.

Док-во*

Пусть

1. А

Рассм. тогда . Заметим, что

По 4 св-ву нормального оператора инвариантно относительно А. Тогда можно рассматривать А только на Поскольку явл. унитарным ЛП (со скалярным произведением таким же, как и в ) – с.в. А в и кроме того . Заметим, что . Действуя дальше аналогичным образом через конечное число шагов получим

, причем . Итак, ОБ. Отнормируем все , получим ОНБ.

2. Пусть М – нормальная матрица, – некоторый ОНБ в ЛО А: (по теореме о связи матрицы и оператора) А – норм. (т.к. М – норм.) ОНБ из с.в. А . Пусть А . Перейдем из . Т – матрица перехода из . Т – унитарная, т.к. это матрица перехода от ОНБ к ОНБ. По столбцам Т стоят координаты с.в. оператора А . Докажем, что – диаг. В самом деле .