Вопрос 44 Линейные, полуторалинейные и билинейные формы
Лемма.(О скалярном произведении)
Пусть
Если
Док-во:
Поскольку
След.
Если
Док-во:
Опр.
Закон(правило)(функция) f,
ставящая любому элементу из
в
соответствие комплексное число (т.е. f
:
называется
линейной формой(функционалом) (ЛФ) в
,
если
:
Теор. (О представлении ЛФ в
ЛФ
f,
действующая в
(h
фиксирован и не зависит от x
) – т.е. для всех х он один о тот же и
определяется только самой формой f
Док-во:
в
нем
ОНБ. Пусть это Е={e1…eк}.
Возьмем произвольные
и
разложим его по базису :
,
тогда :
где
определяется только действием f
на базовые элементы и не зависит от x.
Докажем единственность: Пусть
Замеч.
Аналогичные определения и утверждения
имеют место в
,
только
так : f
:
Рассмотрим ПФ в
Опр.
ПФ
в
–
это правило В :
B(
B(
Теор.
ПФ В, действ. В
Док-во:
При фиксированном
Определяем А следующим образом :
Покажем, что А – ЛО (т.е.
Пусть
x
– произвольный элемент из
,
тогда
В силу произвольности х получим :
Покажем, что
определяется единственным образом :
Аналогично А тоже определяется
единственным образом : Если
Вопрос 45
Сопряженный оператор и его свойства
Опр.
А*
назовем оператором, сопряженным к А в
если
Теор. ( О существовании и единственности сопряженного оператора и его линейности)
Док-во:
имеет
место полная линейность по первому
аргументу. СП в
полулинейно
по второму аргументу
является ПФ в
В силу произвольности x,y,
получаем
Теор. ( для евклидового аналогично)
ДОКАЗАТЬ
Опр.
инвариантным
относительно А , если
(где
Свойства сопряженного оператора
I*=I
инвариантно
относительно
Если А – обратим, то тоже обратим, причем
Если Е – ОНБ, то
Док-во всех свойств сопряженного оператора:
I=
I*
с одной стороны. С другой стороны I=
I*
=
обратного оператора
Е={e1…en}
ОНБ в
Тогда
Таким образом,
(В
аналогично,
но там нет комплексного сопряжения)
Вопрос 46 Нормальные операторы (но) и их свойства.
Опр.
называется
нормальным, если
Опр.
Действительная матрица называется
нормальной, если
Комплексная матрица называется
нормальной, если
Теор.(Свойства НО)
Сл.
норм.
имеет
СВ h
и СЗ
,
то для
h
также является СВ с СЗ
Замеч. В СВ и СЗ норм. А и совпадают
Пусть h – собственный вектор НО А. Тогда L=Span(h) и
является инвариантным относительно
обоих операторов А и
А – нормален
Сл. В любом ОНБ матрица нормального оператора нормальна
Если
то
Док-ва свойств:
рассмотрим
Cл.
: Если y=x,
то :
(в
аналогично,
но без к.с.)
В
. Пусть
h
– СВ А СЗ
Пусть h – собственный вектор НО А. L=Span(h) Тогда
Рассмотрим
Пусть Е – ОНБ в
А
Пусть
тогда
