Вопрос 40 Ортонормированный базис в веп и кеп

Пусть – УП

Опр.

Аналогичная формулировка и для

Пусть {e₁…e_n} – система элементов. Назовем ее ортогональной(ОС), если (т.е. ее элементы попарно ортогональны). Если же выполнено, что то система называется ортонормированной(ОНБ)

Опр. ОС называется ортогональным базисом (ОБ), если она является базисом в

Опр. ОНС называется ортонормированным базисом(ОНБ), если она является базисом в

Замеч. а) Если Е – ОБ, то (x,y)= где

б) Если Е – ОНБ, то (x,y)=

Теор. (О ЛНЗ ОС ненулевых элементов)

Пусть {e₁…e_k}-ОС : ( Тогда эта ОС является ЛНЗ

Док-во: Составим ЛК

т.е. (1) возможно

{e₁…e_k} – ЛНЗ

Теор. (Критерий ОНБ)

Пусть x,y , Е – базис в нем. Тогда (Е – ОНБ)

(

где x=[E]

Док-во: ВЕП Пусть Е – ОНБ (x,y)=

Пусть Возьмем x=e_k, y=e_m (e_k, e_m)= ((0…1..0),(0…1…0))=(0…1…0)

. Выразим координаты . Умножая разложение этого элемента по базису

Вопрос 41

Теор. (О построении ОНБ из произвольного базиса

В любом евклидовом(унитарном) ЛП ОНБ, причем из произвольного базиса Е={e₁…e_n} ОНБ может быть построен следующим образом:

…

Док-во: Рассмотрим В нем существует ОНБ, состоящий из одного элемента В самом деле ОНБ {f₁}. Рассмотрим теперь Строим , где выбираем таким образом, чтобы Тогда ( . Пусть доказано, что Покажем, что тогда ОНБ в Возьмем . Заметим, что ( иначе Выбираем теперь чтобы

Замеч. Метод построения ортонормированных базисов из произвольного базиса называется методом ортогонализации по Шмидту

Замеч. Подобным образом любая ЛНЗ система векторов может быть преобразована в ОС(ОНС)

Вопрос 42 Ортогональные дополнения линейных подпространств в

Пусть Будем говорить, что ортогонально , если

Замеч. Очевидно, что если , т.е. эти ЛПП взаимно ортогональны

Теор.(О пересечении ортогональных ЛПП)

Если

Док-во: Пусть

Опр. Ортогональными дополнениями ЛПП до называется множество элементов :

Теор. (Об ортогональности дополнений)

также является ЛПП of

Док-во: Пусть x, z – произвольные элементы из . Тогда . Пусть

Лемма. Пусть и Е={e₁…e_к}-ОНБ в нем. Тогда (

Док-во: Пусть , тогда Берем в качестве последовательно e₁…e_к ; получаем

Пусть Возьмем произвольный Тогда

Вопрос 43

Теор.( О разложении в прямую сумму своего ЛПП и его ортогональные дополнения)

Пусть произвольное ЛПП , тогда : , т.е.

(Опр.) при этом y называется ортогональной проекцией x на , z называется ортогональной составляющей x.

Док-во: ЛПП и таким образом оно также является унитарным (евклидовым) ( это ЛП : со скалярным произведением из ) в ОНБ. Пусть это Е={e₁…e_к}. Тогда рассмотрим ( Поскольку Из суммы

Таким образом x=z+ ( x=y+z, : Пусть