Вопрос 37 Полуторалинейные формы в комплексном лп

Опр. Пусть V – ЛП над Закон (правило) по которому каждой упорядоченной паре элементов ЛП V ставится в соответствие комплексное число (V*V называется полуторалинейной формой, если

Общий вид пф

Пусть Е={e₁…e_n}- некоторый базис в V x=[E] . Тогда B(x,y)=B(

Опр. – матрица ПФ B(x,y) в базисе Вид (1) называется общим видом ПФ в комплексном ЛП

Опр. Если называется эрмитовой(матрицы, обладающие таким свойством называется эрмитовыми или эрмитово симметричными)

Теор. (О преобразовании матрицы ПФ при смене базиса)

Пусть , Е, Е` – базисы в ЛП V над , причем [E`]=[E] , тогда имеет место равенство

Док-во:

Подставляя это в предыдущее равенство, получаем . Сокращая на строку и столбец (в силу произвольности x,y) получаем (*)

Вопрос 38

Опр. Пусть V – ЛП над Будем называть его евклидовым, если в этом ЛП введен закон(правило) (*), ставящий в соответствие любой упорядоченной паре элементов из V действительное число (V*V причем выполняются следующие свойства:

1. 

2. (x,y)=(y,x)

3. 

Этот закон называют скалярным произведением, а свойства 1-3 аксиомами скалярного произведения

Опр. Пусть V – ЛП над Оно называется комплексным евклидовым(унитарным), если в нем определен закон (*), ставящий в соответствие любой упорядоченной паре элементов комплексное число (V*V причем выполняются следующие свойства:

1. 

2. 

Этот закон называется скалярным произведением(СП) элементов x и y, а свойства 1-3 аксиомами

Замеч. В действительном евклидовом пространстве СП обладает линейностью и по второму аргументу, в комплексном евклидовом пространстве линейность по второму аргументу выполняется только наполовину:

Замеч. Понятие вещественного евклидового пространства и просто евклидовое пространство являются синонимами

Замеч. Комплексное евклидовое пространство и унитарное пространство – синонимы. Таким образом, унитарные пространства – это комплексное линейное пространство со СП

Примеры

1. ЛП геом. в-ров – евкл. пр-во

2. 

3. 

4. – ЛП комплексозн-х непр-х ф-ий действ. пер-го (н-р, )

Опр. Произвольное ЛП V называется нормированным, если каждому элементу x поставлено в соответствие число, обозначенное ||x|| удовлетворяет следующим свойствам:

1. (неотрицательность нормы)

2. (однородность нормы)

3. (неравенство)

Опр. называется нормой элемента x

В КЕП (ВЕП) можно вывести норму следующим образом

Неравенство Коши-Буняковского

Теор. (Неравенство Коши-Буняковского)

Пусть V – КЕП(ВЕП). Тогда

Док-во: Для КЕП. Пусть

Замеч. Вообще можно показать, что

Сл. (Неравенство

Док-во: Для КЕП

Вопрос 39 Общий вид сп в веп и кеп

Далее ВЕП обозначаем буквой

Рассмотрим . Пусть Е={e₁…e_n} - произвольный базис x=[E] (x,y)=(

Опр. Матрица называется матрицей Грама базиса Е. Её свойства: 1) . Таким образом общий вид СП в ВЕП (x,y)=

Рассмотрим теперь Е-базис в нем (x,y)=

Опр. Матрица (она является эрмитово симметричной) (x,y)=