Вопрос 35 Закон инерции кф

Пусть g(x) – КФ в вещественном ЛП V. Dim V=n.

Теор. (О нормальном базисе)

базис H={

Док-во: Пусть Е – произвольный базис в V Сделаем невырожденное преобразование координат: тогда [E`]=[E] В – полярная БФ. Рассмотрим базис H={

Тогда

Остальные Таким образом,

Опр. Такой вид КФ называется нормальным видом, а базис в котором КФ имеет нормальный вид называется нормальным базисом

Замеч. Нормальный базис получается из произвольного канонического путем масштабирования базисных векторов

Опр. Количество в нормальном виде КФ обозначим N( . Число р N( называется положительным индексом инерции КФ. Число q N( называется отрицательным индексом инерции КФ. Число d N( называется деффектом. Очевидно p+q+d=n

Теор. (Закон инерции КФ)

p,q,n=inv, т.е. не зависят от выбора базиса в котором КФ имеет нормальный вид.

Док-во: Пусть два базиса, в которых КФ А(x,x) имеет канонический вид, т.е. А(x,x) = в базисе [E`}=(e`₁,e `<sub>2</sub>,…e`_n) Для доказательства теоремы следует убедиться в том, что p=p` и q=q`. Пусть p p`. Например, p>p`. Рассмотрим ЛП линейная оболочка векторов и ЛП линейную оболочку векторов . Очевидно, что dim . Так как p+n-p`>n dim( Точно также +…+ . Так как вектор . С другой стороны Приходим к противоречию p>p` невозможно. Аналогично неверно p<p`;q<q`;q>q` p=p` и q=q`.

Вопрос 36 Классификация квадратичных форм в вещественном лп

Пусть V – ЛП над , g(x) – КФ в нем

Опр. g(x) называется положительно определенной , если

Опр. g(x) называется отрицательно определенной, если

Опр. g(x) называется квазиположительно определенной, если и

Опр. g(x) называется квазиотрицательно определенной, если и

Опр. g(x) называется знакопеременной, если

Опр. Квазиопределенные – квазиположительно определенные, квазиотрицательно определенные

Теор.(Критерий знакопеременности/знакоопределенности),

1. g(x) положительно определенная p=n, q=0, d=0

2. g(x) отрицательно определенная p=0, q=n, d=0

3. g(x) квазиположительно определенная p>0, q=0, d>0

4. g(x) квазиотрицательно определенная p=0, q>0, d>0

5. g(x) знакопеременная p>0, q>0

Док-во: 1) Пусть g(x) положительно определенная . Тогда Рассмотрим нормальный базис H={ В нем . Вспомним, что

Пусть Тогда в нормальном базисе

Остальные пункты доказать самим

Опр. Пусть g(x) – КФ в вещественном ЛП V Е – некоторый базис в нем. Рассмотрим Главными угловыми минорами назовем

, , ,

Теор. (Критерий Сильвестора)(без доказательства)

1. g(x) положительно определенная

2. g(x) отрицательно определенная

Док-во:

1. Необходимость. Пусть форма g(x)=B(x,x) положительно определена. Покажем, что Предположи, что это не так, т.е. . Рассм. . Она имеет нетрив. реш-е :

, что противоречит тому, что . После приведения к каноническому виду . Пусть . Далее, заставляя k пробегать все значения от 1 до n, получаем, что .

Достаточность. Т.к. , то, приводя квадратичную форму к каноническому виду получаем, .

2. Следует из 1. . Из п. 1