Вопрос 32 Билинейные формы

Пусть V – ЛП над R

Опр. Правило, которое каждой упорядоченной паре элементов ЛП V ставит в соответствие действительное число, называется билинейной формой (БФ), если выполнено условие линейности по обоим аргументам, т.е. V*V (x,y) , причем вып-ся:

1. 

2. 

Опр. БФ называется симметричной, если и антисимметричной, если

Общий вид бф

Пусть Е={e₁…e_n} – базис в V; x=[E] . Тогда B(x,y)=B(

Опр. Числа называются коэффициентами БФ

Таким образом, БФ полностью определяется своими коэффициентами, т.е. значениями на упорядоченной паре базисных векторов.

Заменим коэффициенты БФ в матрице

Опр. Эта матрица называется матрицей БФ В в базисе Е и обозначается

С помощью матрицы БФ (1) можно переписать в виде В(x,y)=

Опр. БФ В₁ и В₂ называются равными, если

Теор. Существует взаимно однозначное соответствие между БФ и действительными квадратными матрицами n-го порядка

Док-во: 1) Каждой БФ по правилу (2) ставится в соответствие ее матрица, причем очевидно равным БФ отвечают равные матрицы;

2) Рассмотрим произвольную действительную матрицу и каждой упорядоченной паре (x,y) из V*V поставим в соответствие действительное число по следующему правилу (4) (x,y) , где x=[E] Тогда (4) будет законом В . Он линеен по обоим аргументам(т.е. является БФ) и В( Таким образом каждой матрице единственным образом поставлена в соответствие БФ

Теор. Если B(x,y) симметрична БФ, то в любом базисе ее матрица симметрична

Док-во:

Преобразование матрицы бф при смене базиса

V – ЛП над R, Е={e₁…e_n}, Е`={e`₁…e`<sub>n</sub>} – базисы в нем . [E`]=[E] , тогда

Док-во: Пусть

, т.е. (

Вопрос 33 Квадратичные формы

Пусть V – ЛП над R

Опр. Закон (правило) g по которому каждому элементу ЛП V ставится в соответствие действительное число, называется квадратичной формой (КФ), если существует симметричная БФ B(x,y): . При этом говорят, что полярна к

Теор. (О связи со своей КФ)

Пусть

Док-во: Рассмотрим B(x+y,x+y)=B(x,x)+B(y,x)+B(x,y)+B(y,y)=B(x,x)+2B(x,y)+B(y,y), но B(x+y,x+y)=g(x+y)

B(x,x)=g(x)

B(y,y)=g(y)

g(x+y)=g(x)+2B(x,y)+g(y)

Опр. Матрицей КФ g(x) в базисе Е называется матрица полярной БФ B(x,y) в базисе

Общий вид кф

Пусть Е – некоторый базис в V, x=[E] тогда (1)

Опр. (1), где называется общим видом КФ. Его можно переписать в виде С помощью матрицы КФ общий вид можно представить в форме

Теор. (О преобразовании матрицы КФ при смене базиса)

Док-во:

Вопрос 34

Пусть в некотором базисе F={f₁,f₂,..f_n} Тогда в этом базисе

Опр. Вид (10) называется каноническим видом КФ, а всякий базис, в котором КФ принимает канонический вид, называется каноническим базисом

Замеч. Каноническое определение неоднозначно

Опр. Преобразование координат вида: называется невырожденным, если det M

Теор. (Лагранжа) Всякая КФ в вещественном ЛП невырожденными преобразованиями координат приводит к каноническому виду, т.е.

Док-во: Если g(x)=0, то и она уже имеет канонический вид. Если g(x) , то проведем доказательство. ММИ по количеству переменных, от которых зависит g. БАЗА: Пусть g зависит только от , тогда это уже канонический вид(т.е. для 1 утверждения верно). ШАГ: Пусть утверждение верно для k-1<n координаты. Покажем, что тогда оно верно и для k≤n координаты. Возьмем 2 случая 1) 2) Рассмотри случай 1), БОО считаем, что b₁₁ (иначе переименуем базисные векторы – это невырожденное преобразование). Тогда которая не зависит от , т.е. зависит от (k-1) переменных, по предполож. индукции приводим к каноническому виду невырожденными преобразованиями. Значит существует невырожденное преобразование

или , где det M= .

Таким образом, для k≤n утверждение тоже верно : g(x) невырожденными преобразованиями координат приводится к каноническому виду. Рассмотри 2) случай. Пусть Тогда поскольку g(x)≠0, то Тогда Сделаем дополнительное преобразование или

det M₁=

Тогда ост.слаг.= Т.е. приходим к предыдущему случаю Итого заменой переменных = где det M=det M₂ *det M₁≠0, КФ g(x) от k≤n переменных приведем к каноническому виду . Таким образом, сделаем шаг индукции индукционное предположение верно для любого количества координат ≤n

Сл1. Для любой КФ g(x) канонический базис в котором она имеет канонический вид

Док-во: Пусть огласно теореме Лагранжа Но (11) дает закон, связывающий координаты вектора при смене базиса , а именно: Если [E`]=[E] , то [E`]=[E] и в базисе E` : , т.е. E` - канонический базис

Сл2. Для невырожденной симметрической вещественной матрицы В матрица Т : Т^tBT= (т.е. имеет диагональный вид)

Док-во: Пусть Е – фиксированный базис в вещественном ЛП V . Тогда рассмотрим КФ g(x): Найдем невырожденные преобразования координат , приведем ее к каноническому виду. Пусть это Рассмотрим Т= и [E`]=[E] По сл1. E` - канонический базис для g(x) Т^t Т^tBT

Замеч. Если КФ действует в одномерном пространстве в нем базис будет каноническим