Вопрос 29

Образ и ядро ЛО.

V – ЛП над К

Опр. Образом ЛО называется совокупность образов всех элементов V под действием А

Опр. Ядром ЛО А называется совокупность всех элементов из V, которые А преображает в Θ

Ker A =

Т.

1. Если Ε – некоторый базис в V, то

2. Im A и Ker A являются ЛПП of V

#

С другой стороны

2.

Пусть x,y – произвольные элементы из KerA, тогда A(x+y) = A(x) + A(y) = ϴ + ϴ = ϴ →

Аналог (надо доказать самим)

#

Опр. Рангом ЛО А называется размерность Im A Rg A = dim Im A

Опр. Дефектом ЛО А называется размерность Ker A Def A = dim Ker A

Т. (О ранге ЛО ) .

#

Аналогично в любом другом базисе #

Т. Если dim V= n A L(V,V), то dim Im A+ dim Ker A = dim V (Rg A+ Def A = n)

# Пусть Rg A = r

dim Ker A = в силу изоморфизма = макс кол-ву ЛНЗ решений ОСЛАУ = n-r = dim V – Rg A = dim V – dim Im A

#

Т. (Еще один критерий обратимости) Пусть след. утвержд. эквивалентны

1. А – обратим

2. Ker A = {ϴ}

3. Im A = V

#

A(x) = Θ имеет только тривиальные решения

2) 3) Ker A = {ϴ} dim Ker A = 0 #

Вопрос 30

Собственные векторы и собственные значения ЛО

Пусть V – ЛП над К,

Опр. Число

При этом h называется собственным вектором ЛО А, отвечающим собств. знач. λ

Замеч. Очевидно, что если h- СВ А, отвеч. λ, то

# A(h) = λh A(Ch)= C A(h)= Cλh = λ(Ch) #

Опр. Совокупность всевозможных СЗ ЛО А называется его спектром (об. σ(А))

Напомним, что хар.многочленом является инвариантом (не зависит от выбора Е)

Опр. Уравнение P(λ)=0 называется характеристическим уравнением (его корни инв. см. выше.)

Т.

#

Пусть Е – произв. базис и

Получ.

1. (

Причем h

Но ОСЛАУ (1) имеет нетривиальное решение

Тогда

A(h) = λh, где h=[E] , #

Замеч. В комплексном ЛП V имеет ровно n СЗ с учетом их кратности (т.к. P(λ) – многочлен n-ой степени, решение которого рассмат. на С) А в вещ. ЛП не всякий ЛО имеет СЗ, а если и имеет, то не обязательно n штук. Это объясняется тем, что при k R рассматриваются только вещ. корни хар. многочлена.

Алгоритм нахождения СВ ЛО А.

1. Выбираем базис

2. Записываем

3. Решаем хар. ур-ие

и таким образом получаем СЗ (спектр)

4. Для каждого находим общее решение ОСЛАУ

Все элементы o.o. (за исключением трив. реш.) дают коорд. СВ, отвечающие данному СЗ.

Замеч. Координаты с.в. будут при этом получены именно в базисе Е. При смене базиса координаты с.в. меняются по закону преобразования координат при переходе

Вопрос 31

Свойства СВ и СЗ

Т. Пусть Тогда система – ЛНЗ

# ММИ база m=1 –линейно независимый т.к.

Пусть утверждение верно для m=k т.е. ЛНЗ. Покажем, что тогда также ЛНЗ.

Рассмотрим

Таким образом (3)

Умножим (2) на и вычтем из (3), получим (4)

но – ЛНЗ по предположению → (4) возможно только при

(

λ попарно различны

Тогда из (2) – ЛНЗ #

Опр. Матрица M называется диагональной если она имеет вид

M = т.е. все элементы кроме главной диагонали нулевые

Опр. ЛО А называется диагонализуемым в ЛП V над К, если в V базис Е: - диаг. матр.

Т. (Критерий диагонализуемости) А – диагонализуем базис из СВ ЛО А. При этом если - СВ, отв. соотв. , то - базис из СВ

# → Пусть А – диаг. базис

, т.е.

…

, т.е. - СЗ, кот. отвечает СВ

- СЗ, кот. отвечает СВ , т.е. Е – это базис из СВ, причем

Пусть H= - базис из СВ ЛО А в V.

Тогда

Тогда #

Опр. Пусть , V- ЛП над К . Кратность λ, как корня хар. ур-ия, назыв. его алгебр. кратностью (АК).

Опр. Пусть λ – СЗ ЛО А. Макс. кол-во ЛНЗ СВ, отвечающей λ, назыв. его геометрической кратностью.

Т. Если λ – СЗ ЛО А ГК(λ) АК(λ)

# Без доказательства #

Сл. Если K= , то ЛО А диагонализуем

Если К=R, то ЛО А диаг.