Вопрос 26

Показали, что каждому можно ед. образом поставить в соответствие кв. матрицу размером . Покажем обратное:

Теор. Пусть произвольная квадратная матрица ( . Тогда

Док-во: Пусть заданный базис. Рассмотрим систему Таким образом задание ЛО Тогда Докажем единственность А. Пусть В постороен иным образом и . Тогда

Покажем, что между ЛО из L(V,V) и квадр. матрицами n-го порядка сущ. взаимно однозначное соотв.Покажем, что (т.е. имеет место изоморфия).

Теор.

Док-во:

1. Вычислим

2. Вычислим

Т.е. верна теорема о том, что .

Сл. dim

Док-во: по св-вам изоморфизма

Теор. (О матрице композиции)

Док-во: Напомним что

матрицы совпадают, то эти матрицы равны.

Л. Пусть

Док-во:

Рассм. в кач-ве последовательно столбцы (n штук). Подставим их последовательно в (*): , т.е. столбцы совпадают

В частности это можно использовать при доказательстве, что

# . Тогда

С другой стороны, #

Вопрос 27

Пусть V – ЛП над k

Опр. В называется обратным к А оператором, если

Опр. Если А имеет обратный, то А обратим

Теор. Если и определяется единственным образом

Док-во: Пусть таким образом Докажем единственность. Пусть обратные к А. Тогда

Теор. (О матрице обратного оператора)

Если А – обратим, то в любом базисе Е

Док-во: Аналогично получаем, что по определению обратной матрицы получаем

Сл. Если А – обратим, то в любом базисе Е

Док-во: оба определителя ненулевые

Опр. Пусть А называют биективным, если т.е биективный ЛО взаимно однозначно отображает V на все W

Теор.(критерий обратимости)

Следующие 3 утверждения эквивалентны для

1. А – обратим

2. невырожден в некотором базисе

3. биективно отображает V на себя

Док-во: 1 из предыдущего следствия. Более того невырожденна в любом базисе. 2 Пусть невырождена. Тогда квадратная СЛАУ имеет единственное решение (по правилу Крамера) биективен. 3 Пусть биективен , т.е. тогда определим В следующим образом : Тогда

Вопрос 28

Теор (об изм. матр. ЛО при смене базиса): Пусть A∈L(V,V) -базисы в V, тогда

.

# Тогда ∈V (x= =[ )=> A(x) = = ( ) ( [ )

Сокращаем в рав-ве [ =[ ) на базис и на столбец (в силу пр. х), получаем

Опр. Определителем ЛО А назовем , где Е – произвольный базис

Покажем, что это определение корректно. Пусть E` другой базис, тогда Таким образом, определитель ЛО А не зависит от выбора базиса, т.е. является инвариантом.

Рассмотрим многочлен относительно

Опр. называется характеристическим многочленом ЛО А

Заметим, что он также не зависит от выбора Е . Соответственно и все его коэффициенты тоже являются инвариантными. Можно показать, что , где сумма главных миноров к-того порядка матрицы (главный минор расположен на строках и столбцах с одинаковыми номерами). В частности

Сумма диагоналей называется следом матрицы и обозначается или .

Из инвариантности характеристического многочлена следует также инвариантность его корней.