
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы
- •Вопрос 5 Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •Вопрос 6 Теория систем линейных алгебраических уравнений(слау)
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9 Однородные слау (ослау)
- •Вопрос 10
- •Построение нормальной системы решений (нср)
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12 Общее решение неоднородных слау(нслау)
- •Вопрос 13 Определение линейного пространства (лп). Примеры.
- •I. Сложение
- •II. Умножение
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Вопрос 14 лз и лнз системы векторов
- •Вопрос 15 Базис и размерность лп.
- •Вопрос 16 Линейные подпространства. Линейные оболочки. Размерность линейной оболочки.
- •Вопрос 17 Координаты вектора в базисе.
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19 Сумма и пересечение линейных подпространств.
- •Вопрос 20 Матрица перехода от одного базиса к другому.
- •Вопрос 21 Линейные формы (линейные функционалы). Их свойства. Сопряженное пространство. Биортогональный базис.
- •Вопрос 22
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32 Билинейные формы
- •Общий вид бф
- •Преобразование матрицы бф при смене базиса
- •Вопрос 33 Квадратичные формы
- •Общий вид кф
- •Вопрос 34
- •Вопрос 35 Закон инерции кф
- •Вопрос 36 Классификация квадратичных форм в вещественном лп
- •Вопрос 37 Полуторалинейные формы в комплексном лп
- •Общий вид пф
- •Вопрос 38
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Вопрос 39 Общий вид сп в веп и кеп
- •Вопрос 40 Ортонормированный базис в веп и кеп
- •Вопрос 41
- •Вопрос 42 Ортогональные дополнения линейных подпространств в
- •Вопрос 43
- •Вопрос 44 Линейные, полуторалинейные и билинейные формы
- •Вопрос 45
- •Сопряженный оператор и его свойства
- •Свойства сопряженного оператора
- •Вопрос 46 Нормальные операторы (но) и их свойства.
- •Вопрос 47 Самосопряженные операторы
- •Вопрос 48
- •Вопрос 49 Спектральная теорема для нормальных операторов и нормальных матриц
- •Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых (симм.) матриц
- •Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных (ортог.) матриц
- •Вопрос 50 Приведение эрмитовой квадратичной формы к главным осям унитарным преобразованием
Вопрос 1
Опр.
Система
столбцов называется
линейно зависимой, если
нетривиальный набор
.
Если же (1) возможно только при
,
то система столбцов линейно независима.
Опр.
Система
строк называется
линейно
зависимой, если
нетривиальный набор
.
Если же (2) возможно только при
,
то система строк линейно независима.
Достаточные условия о ЛЗ и ЛНЗ:
1. Система столбцов, содержащая нулевой столбец, линейно зависимая
#
ЛЗ и ЛНЗ сохраняются при любой нумерации
столбцов, поэтому БОО можно считать
что
,
тогда
=>это
НТЛК =>ЛЗ #
2. Система столбцов, содержащая ЛЗ подсистему, ЛЗ
#
БОО считаем
линейно зависимая подсистема,
:
=>
это НТЛК => это ЛЗ#
3. Любая подсистема ЛНЗ системы столбцов является ЛНЗ
# Из предположения, что подсистема ЛЗ => система является ЛЗ, но по условию система столбцов является ЛНЗ => противоречие, значит подсистема ЛНЗ #
(Аналогично для системы строк)
Критерий ЛЗ
Система столбцов является ЛЗ один из них является линейной комбинацией остальных.
- ЛЗ система столбцов,
, БОО
,
т.е.
-
ЛК остальных
Пусть
один из столбцов ЛК остальных БОО считаем
Тогда
-
это НТЛК=>
линейно зависимая система
Вопрос 2
A=
=
– прямоугольная матрица
Опр.
Минором
k-ого
порядка матрицы А (стоящего в строках
и в столбцах
)
называется число:
Опр.
Если
,
то по опр. ее ранг равен нулю. Если
(Если
),
то рангом ненулевой матрицы А называется
Опр. Пусть Rg A = r. Тогда любой ненулевой минор r-ого порядка этой матрицы называется базисным минором. Соответственно строки и столбцы, на пересечении которого расположен базисный минор, называется базисными строками и базисными столбцами.
Теорема о базисном миноре
1 Базисные строки/столбцы являются ЛНЗ
2
строка/столбец
матрицы А является ЛК базисных
строк/столбцов
Док-во:
# Пусть RgA=r. Пусть
. Покажем что
–ЛНЗ систем строк ( для столбцов аналогично) Пусть - ЛЗ. Тогда cтроки
явл. ЛЗ=>одна из них является ЛК остальных=> По свойству det
=0 – это противоречие => - ЛНЗ#
# Пусть
– базисный минор матрицы А. Докажем для столбцов
Рассмотрим матрицу
B=
Если
,
то det
B=0
(т.к. есть одинаковые стр/столб)
Если
,
det
B=0=
(т.к.
Rg
A=r)
Т.е. в любом случае det B=0; разложим его по последней строке
0=
,
где
– алгебраические дополнения последней
строки, они одинаковы
.
Поэтому
,
причем
(баз. минор)
Вопрос 3
Сл1.
(Критерий вырожденности)
#
Если А=
⇒. Пусть А вырожд. (т.е. det A=0). Единственный минор n-ого порядка матрицы A это Mn=detA=0
⇒Rg
A=r
– баз. минор=>ост.столбцы матрицы А
явл-ся ЛК баз. столбцов => столбцы ЛЗ.
⇐. Столбцы ЛЗ⇒ один из них есть ЛК других ⇒detA=0#
Cл2. Если RgA=r, то любые (r+1) штука строк\столбецов будут ЛЗ, если они существуют
#
для столбцов
(от противного): пусть
- ЛНЗ (предположение)
а)
если r=m, тогда рассмотрим столбцы
.
Они ЛНЗ, т.к. являются подсистемой ЛНЗ
системы⇒
любой
столбец⇒
б)если
m≥r+1, тогда рассмотрим
Т. (О ранге матрицы) RgA=max кол-ву ЛНЗ строк=max кол-ву ЛНЗ столбцов
#RgA=r⇒