Хорошие билеты ЛИНАЛ

1. Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

2. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Определение: ранг матрицы это наивысший из порядков миноров

Определение: минором порядка n матрицы А называется базисным,

этой матрицы, отличных от нуля.

если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка

Определение: минором порядка k матрицы А называется

равны нулю.

определитель матрицы k-ого порядка, элементы которого стоят на

Определение: рангом матрицы A (rang A) называется максимальный

пересечении выбранных k-строк и k-столбцов, т.е.

порядок минора (базисного минора), отличного от нуля. (Если А –

i1 i2

ik

ai1 j1 ai1 j 2

ai1 jk

нулевая матрица,

т.е. все

aij=0,

то

rang

A=0). Чаще

всего ранг

...

a

a

... a

обозначается числом r.

j j

j

i 2 j1 i 2 j 2

i 2 jk

1 2

k

aikj 1

aikj 2

aikjk

Теорема: ранг матрицы равен максимальному числу линейно

Замечание: если в матрице

А все миноры k-ого порядка равны

независимых столбцов этой матрицы.

Следствие: для любой матрицы

А максимальное число линейно

нулю, то все миноры более высокого порядка =0.

независимых столбцов равно числу линейно независимых строк.

Определение: минором порядка n матрицы А называется базисным,

если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка

равны нулю.

Определение: рангом матрицы А называется порядок её базисного

минора, т.е. ранг матрицы равен n, если в матрице существует

ненулевой минор n-ого порядка, а все миноры более высокого

порядка равны нулю Rang A= rg A.

Теорема о базисном миноре: для любой матрицы А базисные

столбцы линейно независимы и любой столбец являющийся

линейной комбинаций базисных столбцов.

Следствие: если RgA<n, то столбцы линейно зависимы.

Следствие: А – квадратичная матрица detA=0 тогда и только тогда,

когда столбцы матрицы А линейно зависимы.

3. Элементарные преобразования матриц. Инвариантность

4.Критерий совместности систем линейных алгебраических

ранга

матрицы

при

элементарных

преобразованиях.

уравнений (теорема Кронекера - Капелли).

Вычисление ранга матрицы. Определение: элементарные

Теорема Кронекера – Капелли: Система ЛАУ совместна тогда и

преобразования

матрицы

не

изменяют

её

ранга.

только тогда, когда ранг матрицы системы равен расширенной

Определение:

элементарными

преобразованиями

матрицы

матрице системы, т.е. rgA=rgА’

называются следующие преобразование:

A’=(A|B); A*B=X;

а) перестановка строк

Определение: две системы с переменными x1;...;xn называются

б) умножение на число отличное от нуля

эквивалентными, если они обе несовместны либо все решения одной

в) прибавление к одной строке другую умноженную на число

являются решениями другой и наоборот.

г) аналогичные преобразование для столбцов

Определение:

частным

решением

системы

называется

Замечание: эти преобразование обратимы А->B, то B->A

упорядоченный набор чисел а1,…,аn, обращающий в тождество

Определение: говорят, что матрица имеет ступенчатый вид если:

каждое из уравнений системы.

1)ниже нулевой строки нулевые строки

Определение: система ЛАУ называется совместной, если она имеет

2)если ai1=…=aik-1=0, aik≠0, то аik=1 и S>I и t≤k: ast=0

хотя бы одно частное решение и несовместной, если нет решений.

Замечание: ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых

Определение: общим решением совместной системы называется

строк.

множество всех частных решений.

Теорема: всякую матрицу конечным числом элементарных

Определение: Совместной называется система, у которой

преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

существует хотя бы одно частное решение.

Определение: эквивалентными называются системы, имеющие одно

и то же общее решение или несовместные.

5.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

6.Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Св-ва

Опр: общий вид система из m лин. уравнений с n неизвестными :

решений. Критерий наличия ненулевых решений.

(1)

=

Ax↓=Ө↓; x1a1↓+…+xnan↓=0↓ (*) ; A=||aij||m∙n-матрица системы ЛАУ

Замечание.1)Всякая однородная сист. ЛАУ совместна, т.к она имеет нулевое

Лемма:элементарным

преобразованиям

строк

соответствует

переход от

решение.

системы (1) к эквивалентной ей системеЛАУ.

2)Т.к реш. системы - столбец

, то можно говорить о сумме

Теорема: метод Гаусса заключается в переходе от системы (1) к эквивалентной

системе, основная матрица которой имеет ступенчатый вид.

решений, произведении на число, лин. комбинации решений

Док-во:Пусть RgA=r≠0.Предположим а11≠0. Умножим 1-е ур-е на 1/а11. Далее

Теорема(Критерий наличия ненулевых реш.):

однор. система ЛАУ имеет

ненулевое решение

т. и т. т.,

когда

ранг

матрицы системы

меньше числа

умножаем 1-е ур-е исходной системы на ai1/а11, i=2…m и вычитаем из i-го ур-я.

неизвестных(RgA<n).

(1)

(1)

(1)

Получим: х1+a12

x2+…+a1n xn=b1

(1)

(1)

Док-во: Сист. (*) имеет ненул. реш.↔

α1

αn не все равные 0, такие, что

(1)

(1)

(1)

a22

x2+…+a2n xn=b2

A x↓=b↓

…………………………………

α1а1↓+ +αnаn↓=Ө↓, т е столбцы а1↓ аn↓-лин завис

RgA<n

am2(1)x2+…+amn(1)xn=bm(1)

Следствие. Если RgA=n, то сист. (*) имеет только нулевое решение

На r-ом шаге получим: A(r)x↓=b(r)

Теорема: если x(1) и x(2) – решения системы (*), то для любых чисел α и β, лин.

1 a12(r) …a1r(r) a1(r+1)…a1n(r)

b1(r)

комбинация αx(1) + βx(2) – решение системы.

0 1…….a2r(r) a2(r+1)…a2n(r)

.

Док-во: по условию Аx(1)↓=Ө↓, Аx(2)↓=Ө↓.Подставим в (*): А(αx(1)↓+βx(2)↓)=αАx↓(1)

А=

…………………………………

br(r)

+ βАx↓(2)= α∙Ө↓+ß∙Ө↓=Ө↓

(r)

Замечание: теорема справедлива, если x(1), …, x(x)- решения системы, α1,…, αk –

0 0……..1……

b= br+1

0

0

0

0

0

.

числа, т.е. α1x(1) +…+ αkx(k) – решение системы

bm(r)

Система A(1)x↓=b↓(1) совместна, когда br+1(r)=…= bm(r)=0, т.е RgA= Rg

Получили: х1+a12(r)x2+….+ a1r(r)xr= b1(r)-(a1(r+1)xr+1+…+a1nxn)

……………………

xr= br(r)-( ar(r+1)xr+1+…+arnxn)

x1, x2,…xr-главные неизвестные, xr+1.. xn-свободные неизвестные. xr+1=h1.. xn=hn

Переход совершается с помощью элементарных преобразований расширенной

матрицы только с её строками

7.Фундаментальная система решений однородной системы

8.Линейная зависимость любых n - r + 1 решений однородной

уравнений. Теорема о существовании фундаментальной

системы (n - число неизвестных, r - ранг матрицы

системы решений.

системы).Общее решение однородной системы ЛАУ

Если RgA=n, то система ЛАУ имеет только нулевое решение.

0

(1)

Пусть r=RgA<n. Тогда в матрице А существует базисный минор

0

порядка r. Не ограничивая общности считаем, что M

=Δ≠0;

Теорема: если RgA=r<n, то любая система из (n-r+1) решений системы ЛАУ

Строки

,…, – матрицы А базисные по

теореме

о базисном

линейно зависима.

миноре строки

,…, линейно выражаются через базисные, т.е.

все уравнения системы являются линейной комбинацией первых r

Док-во: рассмотрим n-r+1 решений системы (1):y↓(1)=

…

уравнений.

0

(1)

0

Назовём неизвестные x1,x2,xr- главными неизвестными, а

y↓(n-r)=.

, y↓(n-r+1)=.

. Составим В=

размером (n-

неизвестные xr+1,…,xn-свободными неизвестными.

(2)

Системы (1) и (2)

равносильны, т.к. Δ=M

≠0,

поэтому при

r)∙(n-r+1).

RgB≤n-r<n-r+1 cтолбцы В-лин завис λ1

λn-r, λn-r+1 не все

0

заданных значениях свободных неизвестных главные определяются

равные 0, такие, что λ1

λn-r

+ λn-r+1

=

однозначно(по теореме Крамера)

0

Теорема: если ранг матрицы А меньше числа неизвестных, то

система однородных ЛАУ имеет n-r линейно независимых решений.

y↓=λ1y↓(1)+…+λn-r y↓(n-r)+ λn-r+1 y↓(n-r+1)=

-решение системы (1). хr+1=..=xn=0-

Определение: Ф.С.Р. однородной системы уравнений называется

любая система из n-r линейно независимых решений.

cвободные неизвестные, х1=..=xr=0-главные неизвестные, т.е y↓=Ө↓. Итак

λ1 λn-r, λn-r+1 не все равные 0: y↓=λ1y↓(1)+…+λn-r y↓(n-r)+ λn-r+1 y↓(n-r+1)=0

Теорема: если у однородной системы ЛАУ RgA=r<n, то Ф С Р x(1),…,x(n-r) и

общее решение системы : x=C1(x(1))+C2(x(2))+…+Cn-r(x(n-r)), где C1,…,Cn-r –

произвольные числа.

Док-во:Пусть х-реш. сист. (1).Рассмотрим систему решений: x↓(1),…,x↓(n-r),х↓-

решение лин. зависимо(из предыдущей Т.), значит λ1

λn-r, λ не все равные 0:

λ1х↓(1)+…+λn-r х↓(n-r)+ λх↓=Ө↓. λ≠0:

х↓=(-λ1/λ)х↓(1)+…+(-λn-r /λ) х↓(n-r) . Обозн Сk=-λk/λ: х↓=C1х↓(1)+…+Cn-r х↓(n-r)

Опр: система(1) называется приведённой для системы (2), если их основные

матрицы совпадают.

A*X=B (1); A*X=θ (2)

9.Общее решение совместной неоднородной системы линейных

10.1.Определение линейного ( векторного) пространства,

алгебраических уравнений.

действительного и комплексного. Простейшие свойства.

Ax↓=b↓(1); A=||aij||m∙n;

=(A|b); RgA=Rg =r(тогда система совместна). Ax↓=Ө↓

Примеры линейных пространств.

(1*)-приведенная однородная сист. для неоднородной сист.(1)

Определение:

не

пустое

множество

V элементов произвольной

Теорема: 1)сумма всякого частного решения неоднор. сист.(1) и произвольного

природы

называется

действительным(комплексным)

линейным

решения приведенной однор. сист.(1*) является решением системы (1).

2)Разность любых 2-х частных рещений неодн. сист.(1) является решением

пространством если:

сист.(1*)

x и y є V поставлен в соответствие элемент zєV, которой

Док-во: 1) Пусть хч-реш.(1), хо-реш (1*), т.е Ахч↓= b↓; Axo↓= Ө↓. A(хч↓+ xo↓)=

называется суммой этих элементов x и y и обозначается z=x+y

Ахч↓+ Axo↓= b↓+Ө↓= b↓.Значит хч↓+ xo↓-реш. сист (1)

б)любому элементу xєV и любому действительному(комплексному)

2) Пусть х(1), х(2)-реш. сист. (1), т.е Ах↓(1)=b↓, Ах↓(2)= b↓. А(х↓(1)- х↓(2))= Ах↓(1)-

Ах↓(2)= b↓- b↓= Ө↓

числу λ поставлен в соответствии элемент λxєV которой называют

произведением элемента x на число λ.

Теорема.общее решение совместной неоднородной системы ЛАУ

При

этом

выполняются

аксиомы:

представляется,как сумма некоторого частного решения этой системы и общего

1)

,

,єV:

+

=

+

2)

,

, єV(

+ )+ =

+(

+

)

3)

,

+

=

решения приведённой системы.(хо.неод.=хч.неодн+хо.общее)

4)

: +

=

; 5)α(

+ )=α

+α ; 5)(α+β)

=α

+β

; 7)(αβ)

=α(β

);

Док-во: Фикс хч.неодн-реш (1). Ахч.неодн= b↓. Пусть хо-произвольное реш (1*),

8)1*

=

;

Линейное

пространство

–

абстрактное

векторное

тогда хч.неодн+хо-реш (1). Пусть х↓- произвольное реш (1): Ax↓=b↓. (x↓- хч.неодн)-

реш (1*). x↓= хч.неодн+(x↓- хч.неодн)= хч.неодн+хо.общее

пространство, элементы называются векторами. Свойства:

Следствие:если rgA=rgA’=r, причём r<n и x(1),…,x(n-r)-Ф.С.Р. приведённой

1)Единственность

нулевого

элемента:

допустим

существует θ1

и

системы (1*), Xч.н.-частное решение (1), то общее решение

θ2єV: θ1=θ2+θ2=θ2+θ1=θ2

2)Единственность

противоположного

Xо.н.=Xч.н.+С1X(1)+…+Cn-rX(n-r), где С1,…,Сn-r-произвольные числа

и

Выводы:

элемента:

Пусть

xєV

x’

и

x”єV:x+x’=θ

и

x+x”=θ;

x’=x’+θ=x’+(x+x”)=(x’+x)+x”=(x+x’)+x”=θ+x”=x”

3)Для

любого

1)RgA≠Rg

, то система несовместна.

2)RgA=Rg

=r, то система совместна.

xєV:0*x=θ;0*x=0*x+θ=0*x+(x+x’)=(0*x+x)+x’=(0*x+1*x)+x’=(0+1)x+

а)RgA=r=n-система имеет единственное решение.

x’=1*x+x’=x+x’=θ

4) xєV(-x)=(-1)x;

x+(-1)x=1*x+(-1)*x=(1+(-

б)RgA=r<n-система имеет бесконечно много решений.

1))x=0*x=θ 5) α:α*θ=θ; α*θ=α(0*θ)=(α*0)*θ=0*θ=θ 6) α:α(-x)=(-αx)

7)αx=θ либо α=0,либо x=0

10.2.Определение линейного ( векторного) пространства,

11.Линейно зависимые и линейно независимые системы

действительного и комплексного. Простейшие свойства.

векторов. Критерий линейной зависимости, достаточные

Примеры линейных пространств.

условия линейной зависимости.

Примеры:

Определение: система элементов x1,x2,…,xm линейного пространства

1)Vi-множество векторов на прямой, плоскости, в пространстве

V называется линейно зависимой, если числа λ1,λ2,…,λm не все

i=1,2,3

равные 0 (|λ1|+…+|λm|≠0) такие, что λ1x1+λ2x2+…+λmxm=θ (1)

2)[a;b]-отрезок f(x)-определена и непрерывна на [a;b]; C[a;b]-

Система элементов x1,x2,…,xmєV называется линейно независимой

множество всех функций непрерывна на [a;b]

если из равенства (1) следует, что λ1=λ2=…=λm=0

3)Множество всех действительны(комплексных) чисел R©

Определение: элемент xєV называется линейной комбинацией

относительно обычных операций – действительных(комплексных)

элементов x1,x2,…,xmєV, если числа α1,…,αn такие, что

линейное пространство

x=α1x1+…+αmxm.

4)n-мерное действительное(комплексное) координатное

Теорема: система векторов x1…xnєV линейно зависима тогда и

пространство (Rn,Cn)

только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно

5)m,nєN, Am*n=||aij||m*n; m*n – множество всех матриц

выражается через остальные.

действительных(комплексных) размеров m*n

Теорема: если система векторов x1,…,xm-1,xm-линейно зависима, а её

6)Pn[x]-множество всех множеств от переменной x степени ≤ n;

подсистема x1,…,xm-1 тоже линейно зависима, то xm-линейно

P(x)=α0+α1x+…+αnxn; α0,α1,…,αnєR;

выражается через x1,…,xm-1

12.Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе,

13.Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и

координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

базиса.

Необходимое и достаточное условие лин зависимости системы векторов.

Опр: лин пр-во V назыв n-мерным пр-ом, если в V n лин независимых

Опр: упорядоченная система элементов е1,…,еn лин пр-ва V назыв базисом V,

элементов, а система из любых n+1 элементов V лин зависима. В этом случае n

если:

назыв - размерностью лин пр-ва V и обозначается dimV=n. Лин пространство V

1)е1,…,еn- линейно независима

называ конечномерным. И бесконечномерным, если для NєN в пр-ве V N лин

2) xєV α1,…,αn такие, что x=α1e1+…+αnen

независ элементов.

Теорема:

При этом представление x=

назыв

1)Если V-n-мерное лин пр-во, то в V сущ. базис из n векторов.

разложением вект x по базису e1,…,en, а числа α1,…,αn-координаты вектора в

Док-во:dimV=n, в V сущ n лин независимых векторов.Выберем такую сист

e1..enєV. Возьмем xєV,

рассмотрим e1..en,х-эта система сост из n+1 вект,

базисе.

значит она лин зависима.Т.к e1..en-лин независ, то х-линейная комбинация e1..en,

Теорема: если е1,…,еn - базис в лин пр-ве V, то координаты xєV определяется в

т.е α1..αn, что х=

e1..en-базис

базисе однозначно. Док-во: Пусть х=

=

=x

=Ө,

2)Если в лин пр-ве V базис из n элементов, то V-n-мерное лин пр-во (т.е.

т к е1,…,еn- лин независ, то (αi-ßi)=0 αi=ßi i=1..n

dimV=n)

Теорема: при сложении любых векторов V столбцы их координат в базисе

Док-во: Пусть в V сущ базис e1..en из n векторов.По определению e1..en-лин

е1…еn-складываются, при умножении вектора на число λ столбец координат

независ.Покажем, что f1..fn,fn+1єV-лин завис. Разложим f1..fn,fn+1 по базису e1..en.

умножается на λ. Док-во: x=

, y=

fk=

kei=

Составим матр А: А=

; x+y=

+

=

ei=

;

RgA=r≤n<n+1 столбцы А лин завис По лемме f1..fn,fn+1 лин завис.

Следствие: если в V сущ базис из n элементов, то любой другой базис содержит

αimei

n элементов.

Лемма: пусть е1…еn-базис V. Система векторов f1,…,fkєV лин зависима тогда и

Теорема: в k-мерном лин пр-ве любую систему из k(k<n) лин независ векторов

только тогда, когда лине зависимы столбцы координат этих элементов. Док-во:

можно дополнить до базиса пр-ва

fm, m=1..k; fm=

mei=

Составим лин. комбинацию λ1f1+..+

λkfk=(e1..en)( λ1

+..+ λk

);

λmfm

Ө λ1

+..+ λk

=

14.Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому.

Преобразование координат вектора при изменении базиса.

dimV=n, e1..en-базис, ..

- другой базис.Разложим

(j=1..n) по базису [e]:

=

ei=(e1…en)

j=1..n ; T=

; (

… )=(e1…en)T

Теорема:V-n-мерное лин пр-во.Невырожденная матрица порядка n и только она

является в Vn матрицей перехода от одного базиса к другому.Док-во:1)Пусть T:

[e]→[

].Столбцы Т-столбцы координат 1..

n в базисе [e], они лин

независимы detT≠0.2)Пусть T=||tij||nn, detT≠0; [

]=[e]T;

k=

k=1..n.т.е

в k-ом столбце расположен столбец коорд

k в [e]

Cтолбцы Т-коорд

1.. n в

базисе [e].detT≠0 столбцы Т лин независ, значит

1..

n-лин независ,т.к

dimV=n 1.. n-базис

], то T-1-матрица

Следствие: если Т –матрица перехода от базиса [e] к базису [

перехода от [

] к [e]

Формулы преобразования координат:

Берём произвольный элемент xєV и раскладываем по базисам [e] и [

]:

x=

=(e1…en)

; x=

=( 1… n)

;

x=(e1…en)

=(

1… n)

=((e1…en)T)

=(e1…en)[T

]



Опр: матрицей перехода от базиса [e] к базису [

] назыв квадратная матр

порядка n в j-ом столбце которой стоят координаты вектора j

в базисе e, т.е. j-

ого вектора базиса [ ] в базисе [e]. [e]=(e1…en)-базис I; [

]=(

)-базис II;

(

) =(e1…en)T;

=(e1…en)

j=1…n; T=||

;

T=

15.Определение линейного подпространства. Свойства линейного

16. Определение линейной оболочки системы векторов. Теорема о

подпространства. Примеры.

размерности линейной оболочки.

V-линейное пространство (R/C)

Опр: пусть x1,…,xn-система эл-ов лин пр-ва V, а λ1,…,λn-произвольные числа,

Опр: непустое подмножество L лин пр-ва V назыв линейным

рассмотрим лин комбинацию вида

.Множество всех линейных

подпространством линейного пр-ва V, если выполняются условия: 1) x,yєL:

комбинаций назыв линейной оболочкой системы элементов x1,…,xn. Обозн

(x+y)єL

L{x1,…,xn}={λ1x1+…+λnxn}

2) xєL λ: λxєL

Теорема: пусть x1,…,xm-элементы лин пр-ва V. Лин. оболочка L{x1…xm}

Из опр следует, что x1,..,xkєL и λ1,…,λkєR :λ1x1+…+λkxkєL

является наименьшим лин подпространством V, содержащим элементы x1…xm.

Св-ва лин под-ва:

Док-во: 1) докажем, что L{x1,…,xm}-лин под-во. x,y є L{x1,…,xm}; x=

;

1)Лин подпространство L линейного пр-ва V само является лин пр-ом

y=

; x+y= x=

є L{x1,…,xm}; λ-число:

относительно операций сложения и умножения на число, определённые в V.

єL{x1,…,xm} L-лин под-во

Док-во.Т.к. L непустое, то x L.Т.к. L –лин п/п, то λ : λx L;

2)Пусть L*-лин под-во пр-ва V, содержащее x1,…,xm. Рассмотрим х є L.

a) λ=0, 0*x= θ L; 2) x L: -x=(-1)x L λ=-1 L-лин пр-во

х=λ1х1+..+ λmхm.Значит х=

L* Т е L{x1

xm}

L*

Аксиомы 5-8 выполняются и в V, и в L

Теорема(о размерности линейной оболочки): пусть x1,…,xm-элементы лин пр-

2)Пусть V-n-мерное лин пр-во .L- лин под-во V.Тогда L-конечномерно и

ва V. Размерность dimL{x1…xm} линейной оболочкой эл-ов x1,…,xm равна

dimL≤n=dimV

максимальному числу лин независ элементов в системе x1,…,xm.

3)Лин под-во L конечномерного пр-ва V совпадает со всем пространством V

Замечание.Максимальное число лин независ элементов равно k, если найдутся

тогда и только тогда, когда dimL=dimV

k-лин независ и k+1-лин завис эл-тов.

Примеры: 1)V-произвольное лин пр-во {θ}-содержат только нулевой

Док-во:Пусть максимальное число лин независ эл-ов равно k(k≤m).Найдем в

элемент.{θ}-нулевое под-во пр-ва V. L=V-подпространство V.

системе х1..хm k лин независ эл-ов.Считаем, что х1..хk-максимальная лин независ

2)V3-лин пр-во геометрических векторов. а)Зафиксируем π(плоскость) L1-

подсистема.Тогда хk+1…хm лин выражаются через них. xj=

jxi=

множество всех векторов ||π L1={xєV:x||π } б)Зафиксируем прямую l L2-

fk=α1jx1+

αkjxk ; j=k+1…m. Пусть x є L{x1,…,xm}, тогда

множество всех векторов||l L2={xєV:x||l}

х=

=

+

=

+

(

jxi)

3)Ax↓=θ↓-однор. система

ЛАУ; A=||aij||m*n-решение-стол непрерывно дифф-мых

Итак х1..хk-лин независ, xєL{х1..хm } лин выражается через х1..хk.Значит х1..хk-

фу-ций на [a,b]; C1[a,b]

C[a,b] C1[a,b]

-лин под-во

базис L{х1..хm }, dim L{х1..хm }=k

4)[a,b]-отрезок.С[a,b]-лин пр-во непрерывных фу-ций. С1[a,b]-мн-во всех

17.Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

18.Определение линейного оператора. Простейшие св-ва. Примеры.

Теорема о разложении линейного пространства в прямую сумму

Действия с линейными операторами и их свойства.

подпространств.

Опр: оператором лин пространства V назыв закон, по которому каждому

V-лин пространство; V1 и V2-лин подпространства пр-ва V.

элемента пространства V ставится в соответствие единственный элемент того же

Опр: пересечением(V1∩V2) лин подпространств V1 и V2 назыв мн-во всех

пространства V.

элементов пр-ва V,принадлежащих как под-ву V1

А,B,C,У – обозн оператора V. Путь А-оператор пр-ва V. xєV Ax-результат

, так и под-ву V2. V1∩V2={xєV,xєV1,xєV2}

действия оператора A на эл-нт x А:V->V; Если y=Ax; где yєV, то y-образ

Суммой V1+V2 лин подпространств V1 и V2 назыв множество всех элементов

элемента xєV, x-прообраз элемента yєV.

хєV вида x=x1+x2 где x1єV1, x2єV2; V1+V2={xєV,x=x1+x2; x1єV1; x2єV2}

Опр: оператор А лин пр-ва V назыв лин оператором, если для x,yєV и числа

Теорема: сумма и пересечение лин подпространств сами являются

λ выполняются: 1)A(x+y)=Ax+Ay 2)A(λx)=λAx.

подпространствами.

Св-ва лин оператора А:

Док-во: 1) а)V1+V2: Пусть х,ує V1+V2, т.е x=x1+x2, у= x=у1+у2, где х1,у1 єV1,

1)Лин оператор отображает нулевой элемент на нулевой элемент, т.е Aθ=θ.Док-

х2,у2є V2; х+у= (x1+x2)+ (у1+у2)= (x1+у1)+ (х2+у2), V1 и V2-лин под-ва x1+у1є V1;

во: θ=0∙х, Aθ=А(0∙х)=0∙Ах=θ

х2+у2єV2 х+у єV1+ V2

2) xєV:A(-x)=-Ax.Док-во: (-х)=(-1)х, А(-х)=А((-1)х)=(-1)Ах= -Ах

б)λх= λх1+ λх2, λх1єV1, λх2єV2 λхєV1+V2

3)Оператор А лин пр-ва V является лин оператором тогда и только тогда, когда

2) V1∩V2: а) пусть х,ує V1∩V2, т.е х,у єV1, х,ує V2; V1,V2-лин под-ва x+ує V1;

x1,…,xkєV и λ1,…,λk выполн: A(λ1x1+…+λkxk)=λ1Ax1+…+λkAxk

x+уєV2.Значит x+ує V1∩V2

4)если x1,…,xkєV лин зависимы, а А- лин оператор V, то образы Ax1,Ax2,…,Axk-

б) λ-число, λх єV1, λх єV2 λх єV1∩V2

лин зависимы.Док-во: x1,…,xk –лин завис λ1,…,λk (не все =0): λ1x1+…+λkxk=θ;

Значит V1+V2 ,V1∩V2- лин под-ва пр-ва V.

A(λ1x1+…+λkxk)=λAx1+…+λkAxk=Aθ=θ => Ax1,…,Axk-лин зависимы.

Опр: сумма лин под-твV1+V2 назыв прямой суммой, если V1∩V2={θ}-нулевое

Примеры.

под-во. Обозн V1 V2-прямая сумма под-тв V1 и V2.

1)V2-лин пр-во геом. векторов на пл-ти, приложенных к т.О;φ-фикс. угол .А-

Теорема: каждый элемент xєV1 V2 представляется в виде: x=x1+x2, где x1єV1 и

поворот всех векторов на угол φ вокруг т.О

x2єV2 единственным образом.

2)V3-лин пр-во геометр. векторов в пр-ве, приложенных к началу координат О.

Док-во: т.к V1 V2-прямая сумма, то V1∩V2. Пусть x1+x2= x1*+x2*, где x1, x1*

А-проектирование вектора х на пл-ть ХОY.

єV1, x2, x2* єV2.Тогда x1+x2= x1*+x2*, x1-x1*= x2-x2*єV1∩V2. Поэтому x1-x1*= x2-