18. Связь между силой потенциального поля и потенциальной энергией.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы  , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии  . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу  , совершаемую силами поля при малом перемещении   тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой  . Эта работа равна

где  - проекция силы   на направление  .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии  , она равна убыли потенциальной энергии   на отрезке оси  :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение   на отрезке  . Чтобы

получить значение   в точке нужно произвести предельный переход:

Так как   может изменяться не только при перемещении вдоль оси  , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от   по  :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор  ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом  . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

19. Полная механическая энергия частицы в силовом поле. Законы ее изменения и сохранения.

Полная механическая энергия частицы – энергия механического движения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий: E = E_k + E_p. Внешние силы не имеют отношения к силовому полю, в котором находятся частицы, они могут быть и консервативными, и неконсервативными. Работа последних сил не может быть учтена как изменение потенциальной энергии системы.

Закон сохранения механической энергии частицы:

полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается неизменной во времени, если внешние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение рассматриваемого времени: E = E_k + E_p = const .

20. Механическая энергия системы частиц. Законы изменения и сохранения механической энергии системы.

Механическая энергия системы определяется как E = E_k + E_p ^соб . Изменение механической энергии замкнутой системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних неконсервативных сил

E₂ - E₁ = ^{неконмерв}A_внутр.

Закон сохранения механической энергии системы:

механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют неконсервативные силы, сохраняется в процессе движения.

Полная механическая энергия системы во внешнем поле равна сумме кинетической и потенциальной энергий E = E_k + ^собE_p + ^внешE_p.

+Закон сохранения полной механической энергии системы, находящейся во внешнем стационарном поле консервативных сил: в инерциальной системе отсчета полная механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет внутренних неконсервативных сил, остается постоянной в процессе движения.