69. Магнитный поток

Магнитный поток является мерой общего магнитного поля, проходящего сквозь заданную площадь. Это очень удобный инструмент для описания эффекта, оказываемого магнитным полем на объект, занимающий такую же площадь. Величина магнитного потока зависит от выбранной площади. В общем случае магнитный поток находится при помощи скалярного произведения векторов. Если B — вектор магнитной индукции, а A — вектор, перпендикулярный рассматриваемой плоскости, тогда: Φ=B⋅A. Если нет, тогда: Φ=BAcosθ

Теорема Гаусса для магнитного поля

Дл я произвольной замкнутой поверхности S (рис. 17) поток вектора индукции  магнитного поля через эту поверхность S можно рассчитать по формуле:

.

С другой стороны, число линий магнитной индукции, входящих внутрь объема, ограниченного этой замкнутой поверхностью, равно числу линий, выходящих из этого объема (рис. 17). Поэтому, с учетом того, что поток вектора индукции  магнитного поля считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, суммарный поток Ф_B вектора  через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.:

что составляет формулировку теоремы Гаусса для магнитного поля.

70. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Циркуляция индукции магнитного поля постоянных токов по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур.

В интегральной форме данная формулировка выглядит так:

В дифференциальной форме:

71. Контур с током в магнитном поле, момент сил. Сила, действующая на контур в неоднородном магнитном осесимметричном поле. Работа сил магнитного поля при перемещении проводника с током.

Основное свойство магнитного поля - способность действовать на движущееся эл. заряды с определённой силой.

В магнитном поле контур будет ориентироваться определённым образом: ориентацию контура в пространства будут характеризовать направлениям нормали, связанной с движением тока правилом буравчика.

Момент сил.

Сила, действующая на контур в неоднородном магнитном осесимметричном поле

Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в однородном магнитном поле В. Пусть контур ориентирован так, положительная нормаль к контуру перпендикулярна к вектору В (рис. 46.1). Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре прави лом правого винта. Разобьем площадь контура на узкие, параллельные направлению вектора В, полоски ширины (см. рис. 46.1, а; на рис. 46.1, б одна такая полоска изображена в увеличенном виде). На ограничивающий полоску слева элемент контура действует сила, направленная за чертеж. Модуль этой силы равен (см. рис. 46.1, б). На ограничивающий полоску справа элемент контура действует сила, направленная на нас. Полученный нами результат означает, что силы, приложенные к противоположным элементам контура, образуют пару, момент которой равен

Из рис. 46.1 видно, что вектор перпендикулярен к векторам, следовательно, может быть записан в виде:

Просуммировав это выражение по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий на контур:

Работа сил магнитного поля при перемещении проводника с током.

На проводник с током в МП действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки), то под действием он будет в МП перемещаться. Следовательно, МП совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной lс током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное м.п. перпендикулярное к плоскости контура. Направление силы определяется по правилу левой руки, а значение – по закону Ампера. Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая МП равна:

Т.к. - площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле.

Поток вектора магнитной индукции, пронизывающей эту площадь равен: Таким образом, работа по перемещению проводника с током в МП, равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником: Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора .

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в МП (произвольное движение). Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение . Направление тока в контуре – по часовой стрелке и МП. перпендикулярно плоскости чертежа.

Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: АВС и СDА. Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в м.п., равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников АВС и СDА (dA1 и dA2), то есть: . Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA2>0. Эта работа, согласно формулам равна: где dФ0 – поток, который пересекает проводник CDA при движении; dФ2 – поток, пронизывающий контур в его конечном положении.

Силы, действующие на участок АВС контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, следовательно, dA1 <0. Проводник АВС пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность и dФ1 – поток, пронизывающий контур в начальном положении.

Следовательно: Подставляя выражения для dA1 и dA2 в формулу (37.5), получим выражение для элементарной работы: , где . Таким образом, . Проинтегрировав выражение . Работа по перемещению замкнутого контура с током в МП равна произведению силы тока в контуре на приращение магнитного потока, сцепленного с контуром.