Логика предикатов
n - местный предикат P(x1... xn) - наз. функция от переменных x1....xn определенная на множестве
M= M1*M2 ....Mn и принимающая значения 0 или 1 на этом множестве M.
Т.о. чтобы задать предикат от n аргументов надо указать множества M1 .....Mn т.е. области изменения переменных x1....xn
Пример X> Z
P (x, z) - двухместный предикат
для x= 5 , z=3 (т.е. для множества <5, 3> ) P(x,z) =1 для множества x=3 , z=3 P(x,z)=0
Эвивалентные соотношения
Эквивалентные соотношения (т.е. равносильность формул)
1.A& 0 ≡ 0
2.Av 0 ≡ A
3.A v 1≡ 1
4.A & ( ) ≡ 0
7. |
A v ( |
≡ 1 |
8 . |
A & A ≡ A |
|
9. |
A v A |
≡ A |
1 |
|
|
Эвивалентные соотношения
10. A & (B v C) ≡ (A & B) v (A & C) (дистрибутивность
коньюнкции относительно дизьюнкции)
11. A v (B & C) ≡ (A v B) & (A v C) (дистрибутивность
дизьюнкции относительно коньюнкции)
12.A & (A v B) ≡ A
(примечание : здесь (в скобках первый элемент именно A , а не B )
Такой закон наз. первым законом поглощения (что часто используется в семинарах)
Эвивалентные соотношения
13.
A v (A & B) ≡ A
здесь уже в скобках знак лог И (а не ИЛИ как было в первом законе поглощения)
Такой закон наз. вторым законом поглощения. 14. ( ) ≡ v
первый закон Де Моргана
15. ( ) ≡ & второй закон де Моргана
Эквивалентные соотношения (дополнения)
1.1 закон расщепления A≡ (A& B) V (A & )
2.2 закон расщепления A ≡ (A v B ) & (A v )
3.A → B ≡ →
4.A → B ≡ v B
Тавталогии
Тавталогия(тождественна истинная формула) - формула , значения которой для любого набора входных переменных есть 1
Противоречие (тождественно ложная формула) -
формула , значения которой для любого набора входных переменных есть 0
Тавталогии играют важную роль в логике , т.к. отражают структуру предложений.
Чтобы доказать , что формула является тавталогией надо построить таблицу истинности для нее.
Тавталогии
Тавталогия(тождественна истинная формула) - формула , значения которой для любого набора входных переменных есть 1
Пример Проверить является ли формула тавталогией
A |
B |
F |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
Выполнимость формул логики
Формула наз. выполнимой , если существует такой набор входных переменных (хотя бы один ) при которой функция принимает значение 1
A |
B |
F |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
Понятие алгоритма
.
СДНФ , CКНФ |
|
||
|
РЕШЕНИЕ |
|
|
|
СДНФ |
. |
|
1. |
Строятся таблицы истинности. |
||
|
|||
2. |
Найти наборы на которых функция принимает истинное |
|
|
значение. |
|
||
В соответствии найденным наборам поставим в соответствие
элементарные коньюнкции по всем переменным, причем если переменная в наборе принимает значение 0, то она
будет представлена с отрицанием, напр.
K1 :{0 ,0} →
3. Объединяем коньюнкции с помощью операции ИЛИ , в итоге получим СДНФ