Cложность вычислений.
Сложность задач - асимптотически временная сложность алгоритма.
Основной вопрос теории сложности : насколько успешно или с какой стоимостью может быть решена данная проблема.
Т,е. тогда цель: рассмотреть все возможные алгоритмы решения данной проблемы и сформулировать
верхнюю границу сложности
нижнюю границу сложности
Cложность вычислений.
В отличии от математики в информатике
недостаточно найти алгоритм решения задачи, надо ответить еще на ряд вопросов , связанных с качеством и эффективностью полученных алгоритмов.
Т.е. надо ответить на следующие вопросы:
если алгоритм найден , то надо сранить полученный алгоритм с другими алгоритмами, решающими ту же задачу (напр. по сложности вычисления ).
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Введем обозначение , связанное с асимптотической оценкой функций.
Пусть даны две функции f(n) и g(n) натурального аргумента n . Тогда функция g мажорирует функцию f (т.е. f растет не быстрее g), если существует положительное число c и натуральное число n0, такое, что
f(n)≤ cg(n) для всех n≥ n0.
Если g мажорирует f, то это обозначается как
f(n)= O (g(n)) (Читается «O большее от g(n)». Тогда функция g является асимптотической верхней границей для функции f.
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Другими словами, отношение f(n) / g(n) ограничено сверху некоторой константой.
Определение предполагает , что функии f(n) и g(n) асимптотически (т.е. для больших значений
n )неотрицательны . Пр.
Проверить , что (1/2) - 3n =O() Решение.
Итак имеем f(n)=(1/2) - 3n g(n)=
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Cогласно определению надо найти отношение f(n) / g(n) , которое ограничено константой c, т.е.
- 3n ≤ c
Т.к. вторая функция g(n)= , то разделим на
- ≤ c
Можно найти n0 при определенном c. Cледовательно сложность O().
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Теорема 1. Если r и s - действительные числа и r ≤ s , n >1 , тогда
≤
Следовательно , =O()
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Теорема 8.
Для целых чисел a, больших единицы
= О(n)
Теорема 9.
Пусть n - неотрицательноеn!= ( ) число , тогда n! < и следовательно О
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Cложность вычислений. Асимптотические оценки.
Теорема 1. Если r и s - действительные числа и r ≤ s , n >1 , тогда
≤
Следовательно , =O() Теорема 2.
Если f(n)= O(g(n)) и h(n)= O(g(n)), то (f + h)(n)= O(g(n))
Теорема 3.
Если f(n)=O(g(n)) и h(n)= O(e(n)) , то (f × h)(n)= = O (g × e)(n)
