1. Основы математической логики, Основные операции. Формулы алгебры

высказываний

Основы математической логики:

Математическая логика - это раздел математики, который изучает логические операции и их свойства. Она позволяет анализировать и формализовать рассуждения с помощью символьных записей.

Основными объектами изучения в математической логике являются высказывания и предикаты.

Высказывание - это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Высказывания обозначаются буквами P, Q, R и т.д.

Пропозициональные переменные – переменные, вместо которых можно подставить высказывание. *Обратить внимание*

Основные операции в математической логике:

1. Конъюнкция (И) - обозначается ∧ или &. Высказывание p ∧ q истинно, только если оба p и q истинны.

2. Дизъюнкция (ИЛИ) - обозначается ∨ или |. Высказывание p ∨ q истинно, если хотя бы одно из p или q истинно.

3. Отрицание (НЕ) - обозначается ¬. Высказывание ¬p истинно, если p ложно.

4. Импликация (ЕСЛИ..., ТО...) - обозначается →. Высказывание p → q истинно, если либо p ложно, либо p и q оба истинны.

5. Эквивалентность (ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА) - обозначается ↔. Высказывание p ↔ q истинно, если p и q имеют одно и то же значение истинности.

Формулы алгебры высказываний:

Формулы алгебры высказываний - это правильно построенные выражения, составленные из высказываний с помощью логических операций.

*Дополнено*

В учебнике Игошина определение приведено в индуктивном виде:

1) Каждая отдельная пропозициональная переменная есть формула алгебры высказывавний;

2) Если F­₁ и F₂ – формулы алгебры высказываний, то выражения F­₁, (F­₁ ∨ F₂);

3) Никаких других формул алгебры высказываний, кроме получающихся согласно п. 1 и 2 нет.

Примеры формул:

P, Q, X; ¬P, ¬Q; (Q ∨ P) – они являются формулами потому, что в них присутствуют высказывание, операция и правильно расставленные скобки.

Примеры НЕ формул:

((QP) → Z), (Q ¬ → P) – в первом случае между QP отсутствует лог. операция, а во втором лог. операции неправильно имеют неправильный порядок.

Классификация формул алгебры высказываний:

Выполнимые – сущ-ют конкретные высказывания, при подстановке которых выс-е обращается в истину;

Тавтология или тождественно истинная – при подстановке любых конкретных выс-й обращается в истину;

Опровержимая – сущ-ют конкретные высказывания, при подстановке которых выс-е обращается в ложь;

Тождественно ложная - при подстановке любых конкретных выс-й обращается в ложь;

2. Эквивалентные соотношения в математической логике. Нормальные формы (кнф, днф). Скнф (совершенная конъюнктивная нормальная форма), сднф (совершенная дизъюнктивная нормальная форма)

Эквивалентные соотношения в мат. логике:

Равносильность – НЕ лог. операция, а отношение между формулами лог. высказываний.

F­₁ ∨ F₂ – формула, (F­₁ ≡ F₂) – НЕ формула.

Формулы F(x_n)*¹ и H(x_n) называются эквивалентными (равносильными), если при любых входящих пропозициональных переменных значения этих функций совпадают.

*¹ : x_n – это n переменных.

Признак: две формулы F, H высказываний равносильны тогда, когда формула F↔ H является тавтологией.

Свойства эквивалентности:

Отношение эквивалентности: А) рефлективно: F ≡ F;

Б) симметрично: если F₁ ≡ F₂, то F₂ ≡ F₁;

В) транзитивно: если F₁ ≡ F₂, F₂ ≡ F₃ , то F₁ ≡ F₃.

Основные эквивалентные соотношения:

1. Коммутативность: A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∨ B ≡ B ∨ A

2. Ассоциативность: (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C), (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

3. Дистрибутивность: A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

4. Закон отрицания: ¬(¬A) ≡ A

5. Законы де Моргана: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Нормальные формы:

1. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ):

КНФ - это логическое выражение, представленное в виде конъюнкции дизъюнкций литералов (переменных или их отрицаний).

Пример: (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C)

2. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ):

ДНФ - это логическое выражение, представленное в виде дизъюнкции конъюнкций литералов.

Пример: (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C)

3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ):

СКНФ - это логическое выражение в КНФ, где каждая конъюнкция содержит все переменные (либо прямо, либо в виде отрицания).

Пример: (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ C)

4. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ):

СДНФ - это логическое выражение в ДНФ, где каждая конъюнкция содержит все переменные (либо прямо, либо в виде отрицания).

Пример: (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B)