Лекция 9 МАИ

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

Лекция 9. Метод анализа иерархий

9.1 Введение

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, опеределяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР на основе парных сравнений. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. МАИ включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности характеристик и нахождения вариантов решений. Полезно отметить, что полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Решение проблемы, согласно МАИ, – процесс поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценки элементов; следующим этапом может быть выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и переосмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для представления и решения проблемы. Процесс может быть проведен над последовательностью уровней иерархии, в этом случае результаты, полученные на одном из них, используются в качестве входных данных при изучении следующего.

9.2 Шкала сравнения, применяемая в МАИ

Для оценок важности объектов необходимо использовать одну из шкал. В МАИ используется шкала порядка следующего вида, называемая шкалой относительной важности, которая, по мнению авторов методики является достаточно эффективной (см. Таблица 1).

Коснемся лишь примерного списка вопросов, которые можно задавать при проведении сравнений элементов А и Б. Все они попадают в одну из следующих категорий:

–какой из них важнее или имеет большее воздействие на целевой результат?

–какой из них более вероятен?

–какой из них предпочтительнее?

Первый вопрос обычно задают при сравнении характеристик, второй – при сравнении сценариев, получаемых из характеристик, третий – при сравнении вариантов решений.

В соответствии с работой Т.Саати [1], предложившего МАИ, для релизации метода необходимо осуществить следующие этапы.

9.3 Основные этапы метода

Этап 1.Очертить проблему и определить, что необходимо узнать.

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

Этап 2.Построить иерархию, начиная с вершины (цели – с точки зрения управления), через промежуточные уровни (характеристики, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем альтернатив).

Этап 3.Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней – по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня. Этот элемент называют зависимым (направляемым) по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне, так как элемент нижнего уровня влияет на расположенный выше элемент (однако подчинен ему по цели). В полной простой иерархии любой элемент воздействует на каждый элемент примыкающего сверху уровня. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на направляемый элемент. Таким образом, получаем квадратную матрицу суждений. Попарные сравнения проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим на заданном уровне. Эти суждения затем выражаются в целых числах (смотрите таблицу шкалы 1–9). Если элемент А доминирует над элементом Б, то клетка, соответствующая строке А и столбцу Б, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Б и столбцу А, заполняется обратным к нему числом (дробью). Если элемент Б доминирует над элементом А, то проис ходит обратное: целое число ставится в позицию Б, А, а обратная величина автоматически в позицию А,Б. Если считается, что А и Б одинаковы, в обе позиции ставится единица. На данном этапе для получения каждой матрицы требуется n(n–1)/2 суждений (при каждом парном сравнении автоматически при-

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

писываются обратные величины).

Этап 4.Вычисляются компоненты собственного вектора как средние геометрические по строке. После нахождения, компоненты собственного вектора нормируются, что дает вектор приоритетов или весов объектов.

Этап 5.После проведения всех парых сравнений и получения данных по собственному значению и собственному вектору можно определить согласованность. Для этого, используя отклонение lmax от n, проверяем индекс согласованности, сравнивая с соответствующими средними значениями, полученных для матрицы, построенной случайным образом, получаем отношение согласованности. Эти значения приведены ниже в виде таблицы 7.

Этап 6.Этапы 3,4 и 5 проводятся для всех уровней и групп в иерархии.

Этап 7.Проводится вычисление общего веса варианта решения путем последовательного взвешивания векторов весов нижележащего уровня (вариантов решений) компонентами вектора весов вышележащего уровня (характеристик). При

n

этом вычисляется сумма взвешенных компонент вида ∑ xнi yнi1 . Где xнi – вес харак-

теристики (элемента) вышележащего уровня иерархии j,=1а yнij – вес j-го варианта с точки зрения i-ой характеристики вышележащего уровня.

Этап 8.Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующей характеристики и суммируя полученные числа. Результат затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы. Отметим, что приемлемым является ОС не более 10%. Иначе необходимо произвести переоценку соответствующей матрицы. Если это не позволяет улучшить согласованность, то задачу следует более точно структурировать, то есть сгруппировать аналогичные элементы под более значащими (весомыми) характеристиками. После этого необходимо вернуться к этапу 2.

При проведении сравнения и построении матриц парных сравнений желательно использовать не более 7±2 элемента на каждом уровне (число Мюллера). В этом случае погрешности в оценках будут приемлемыми.

9.4 Пример реализации общей схемы процедуры выбора на основе

МАИ

Рассмотрим процедуру применения МАИ на следующем примере. Предположим вам необходимо выбрать принтер для домашнего использования. будем считать вариант выбранным если определен тип принтера (матричный, струйный или лазерный).

Первый шаг состоит в декомпозиции и представлении задачи в иерархической форме. На первом уровне располагается цель – "Принтер для дома", на втором – четыре наиболее важных характеристики и на третьем – три объекта выбора (решения) – типы принтеров, которые должны быть оценены по характеристикам второго уровня.

Предлагаемый список характеристик для оценки:

1)Стоимость;

2)Стоимость расходных материалов;

Теория принятия решений

09.03.01Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

3)Уровень шума;

4)Качество и скорость печати.

Выбранная тема для пример не требует детального описания, поскольку вся необходимая информация легко доступна. Однако при рассмотрении реальной задачи требуется приводить описание характеристик и вариантов.

Графическое представление задачи приведено на рисунке 2.

При реализации метода необходимо выполнять определенные правила.

Правило №1 иерархической непрерывности требует, чтобы элементы нижнего уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего уровня и т.д. вплоть до вершины иерархии. Например, надо получить имеющие смысл ответы на вопросы типа: "Насколько струйный принтер лучше матричного или лазерного по характеристике “Стоимость?" или "Насколько по отношению к основной цели третья характеристика важнее второй?" и т.д. Когда есть сомнения относительно того, какие уровни ввести в иерархию, закон иерархической непрерывности обеспечивает отсутствие пропусков в оценках.

Целью построения иерархии является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.

Необходимо отметить, что список характеристик составляется на основании обсуждения со всеми заинтересованными лицами и требует компромиссов между излишней детальностью и не учетом основных свойств.

Правило №2 дискриминации и сравнительных суждений.

Подразумевает использование оценок парных сравнений, представленных в виде матрицы парных сравнений. При этом симметричные относительно главной диагонали оценки являются обратно–симметричными по численным значениям, то есть задается степенная калибровка.

Таким образом, если имеются n объектов сравнения – A1,A2,...,An с “теоретическими” весами или интенсивностями w1, w2,... wn, эту матрицу можно представить в виде таблицы 2, где

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

aij= wi

wj

Каждый столбец и строка матрицы представляет собой вектор–столбец и вектор–строку, соответственно. Элементы этой матрицы имеют свойство обратной симметрии:

aij=a1

ji

Таблица 2 – Матрица парных сравнений общего вида

Из матрицы видно, что в идеальном случае, если предпочтения соответствуют весам объектов, то матрица имеет пропорциональные строки, и, поэтому является вырожденной. В рассматриваемом примере матрица парных сравнений относительной важности характеристик имеет вид (строим пустую таблицу), представленный в таблице 3.

Поскольку элементы, симметричные относительно главной диагонали матрицы являются обратно симметричными, то достаточно заполнить только одну (например, наддиагональную) половину матрицы, что требует n(n–1)/2сравнений, где n – общее число сравниваемых объектов. Далее строим множество матриц нижнего уровня, соответствующих оценке вариантов решений по выбранному набору характеристик (см.таблицу 4).

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

Правило синтеза приоритетов.

а. Вычисление локальных векторов приоритетов.

Для группы матриц парных сравнений мы формируем набор локальных приоритетов (заданного уровня иерархии), которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, а за-

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

тем нормализовать эти вектора (так, чтобы в сумма элементов каждого вектора давала единицу), получая тем самым вектор приоритетов данного уровня.

Таблица 6 – Выбор критерия: матрицы парных сравнений для уровня 3max=___;ИС=___; ОС=___

Существует множество способов вычисления собственных векторов, отличающихся по сложности и эффективности. В МАИ предлагается алгоритм, использующий особенности парных оценок в симметричной шкале отношений, а именно строить элементы собственного вектора как средние геометрические по строкам (это возможно, поскольку матрица является вырожденной и её собственный вектор пропорционален значению строк). Например, для матрицы 4*4 это даст следующее – компонент собственного вектора первой строки будет иметь вид:

После вычисления компонент собственного вектора требуется провести их нормировку по сумме значений собственного вектора.

Процедура вычисления собственного вектора и его нормировка для матрицы общего вида n*n представлена схемой на рисунке 3.

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

Рисунок 3 – Вычисление собственного вектора и его нормировка

После того как компоненты собственного вектора получены для всех n строк, становится возможным их использование для дальнейших вычислений.

Для удобства и однозначности прочтения далее в данной работе обозначим собственный вектор матрицы парных сравнений характеристик через X, его компоненты –xi, а нормированный вектор соответственно – xнi. Собственный вектор матрицы парных сравнений вариантов с точки зрения i–ой характеристики обозначим через yi, его компоненты – yij, а нормированный вектор соответственно

– yнij.

б. Согласованность локальных приоритетов.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения численной (кардинальной, aijajk=aik) и транзитивной (порядковой) согласованности. Для улучшения согласованности можно рекомендовать поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. В других процедурах построения шкал отношения нет структурно порожденного индекса. Как уже было отмечено, для выполнения условий согласованности в матрицах попарных сравнений используются обратные величины aji=1/aij вместо традиционно используемых при построении интервальных шкал величин aji=–aij.

Все измерения, включая те, в которых используются приборы, подвержены погрешностям измерений, а также погрешностям из–за неточностей в самом измерительном приборе. Эти погрешности могут привести к несогласованным выводам. Однако совершенной согласованности при измерениях даже с наиболее точными инструментами трудно достичь на практике. Нужен способ оценки степени согласованности при решении конкретной задачи. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть приближенно получен вычислениями вручную по следующему алгоритму.

Шаг 1. Вычисления оценочного значения максимального собственного числа max.

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

n

λmax=∑ A xн i=1

Шаг 2. Индекс согласованности вычисляется по следующей формуле

ИС=(λmax−n)

n−1

где n – число сравниваемых элементов.

Для обратно - симметричной матрицы всегда max=n. Шаг 3. Определение оценки согласованности.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7, ..., 1, 2, ..., 9, но образовании обратно - симметричной матрицы. Средние величины согласованности для случайных матриц разного порядка приведены в следующей таблицы.

Величина, называемая оценка согласованности (ОС), получается путем деления ИС на случайную согласованность, выраженная в процентах

ОС= ССИС 100%

и показывает относительную согласованность матрицы парных сравнений. Величина ОС должна быть порядка не более 10%, в крайнем случае, в пределах 20%. Если выше, то требуется пересмотр значений матрицы парных сравнений

в. Принцип синтеза.

После получения векторов приоритетов всех уровней. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз.

Алгоритм расчета следующий.

1)Локальные приоритеты вариантов с точки зрения критерия умножаются на приоритет соответствующего критерия.

2)Полученные величины суммируются.

3)Операция повторяется для всех вариантов.

4)Полученные величины образуют вектор составных или глобальных приоритетов, которые используются для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и расположенных уровнем ниже.

5)Процедура повторяется до самого нижнего уровня.

Выбор осуществляется по результирующему вектору. Наилучшим считается вариант, имеющий максимальное значение.

Процедуру вычисления можно представить в следующем виде –таблица 8.

Таблица 8 – Структура результирующей таблицы

Теория принятия решений

09.03.01 Информатика и вычислительная техника 3 курс ФИРТ УГАТУ

Для нашего примера результаты расчета векторов приоритетов и оценок согласованности дадут следующее – таблицы 9 и 10.

Теория принятия решений