ЛР 4 / ЛАБА_4

Цель работы:

Исследование основных характеристик входных потоков заявок, а также базовых принципов моделирования СМО по событиям.

Вариант №9.

Порядок эрланговского потока – 5

Равномерный закон

0 = 4

Ход работы:

Согласно варианту, закон распределения входного потока заявок эрланговский 5

порядка. Для эрланговского закона распределения плотность вероятности записывается следующим образом:

Пользуясь методом обратного преобразования, можно вывести следующее соотношение, позволяющее из чисел, сформированных базовым датчиком, получить числа с эрланговским законом распределения:

= −1 ∑=1 ln .

График закона распределения интервалов эрланговского распределения представлен на рисунке 1. Листинг кода представлен в приложении.

2

Рисунок 1 - График плотности Эрланговского распределения Согласно варианту, закон распределения времени обслуживания заявок

равномерный. Для равномерного закона распределения плотность вероятности

Пользуясь методом обратного преобразования, можно вывести следующее

соотношение, позволяющее из чисел, сформированных базовым датчиком, получить числа

с эрланговским законом распределения:

= ( − ) + .

3

Были выведены формулы для расчета a и b:

График закона распределения интервалов равномерного распределения представлен на рисунке 2. Листинг кода представлен в приложении.

Рисунок 2 - График плотности равномерного распределения

На рисунке 3 представлены теоретический и экспериментальный графики зависимости среднего времени пребывания заявки в системе от интенсивности пуассоновского входного потока для тестового испытания. Листинг кода представлен в приложении.

4

Рисунок 3 - График зависимости λ от T для тестового Пуассоновского входного потока

На рисунках 4-5 представлены результаты моделирования для получения требуемой экспериментальной зависимости среднего времени пребывания заявки в системе от интенсивности эрланговского входного потока и построенный по ним график. Листинг кода представлен в Приложении А.

Рисунок 4 - Зависимость среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока

5

Рисунок 5 - График зависимости λ от T для экспериментального Эрланговского входного потока

Вывод:

В ходе данной лабораторной работы я познакомилась с элементарными системами массового обслуживания (ЭСМО) с бесконечным буфером и смоделировала работу одной из таких систем. В смоделированной ЭСМО был реализован эрланговский закон распределения 5 порядка для входного потока заявок и равномерный закон распределения времени обслуживания заявок.

Был построен график зависимости среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока. Расчеты были проведены при разных значениях интенсивности в диапазоне значений λ = 0.1µ0, 0.2µ0, …, 1µ0, поэтому на графике видно,

что чем больше интенсивность, тем больше среднее временя пребывания запроса в системе.

6

Приложение

import math import numpy as np import random

import matplotlib.pyplot as plt from tabulate import tabulate

# Эрланговское распределение

def erlang_distribution(order, lam): sum_uniform = 0

for j in range(0, order):

R = random.uniform(0.0, 1.0) sum_uniform += math.log(R)

return (-1 * sum_uniform) / (lam * order)

# Равномерное распределение def uniform_distribution(a, b):

R = random.uniform(0.0, 1.0) return R * (b - a) + a

# Пуассоновский закон

def poisson_distribution(lam): R = random.uniform(0.0, 1.0)

return (-1 * math.log(R)) / lam

# Функция для моделирования ЭСМО

def modeling(order, lam, a, b, condition: bool):

# Количество заявок поступивших / обслуженных / в буфере к данному моменту в СМО, системное время, статус занятости ОУ

n, k, m, t_system, zan = 0, 0, 0, 0, 0

# Моменты поступления заявок t_request_list = np.array([])

# Моменты обслуживания заявок t_release_list = np.array([])

# Старая оценка среднего времени пребывания запроса

T_old = 1000000 counter_N = 0

# Формирование случайного момента поступления заявки

t_request = poisson_distribution(lam) if condition else erlang_distribution(order, lam)

7

t_release = t_request while True:

# Счетчик объема выборки counter_N += 1

# Проверяем наступило ли время освобождения ОУ if t_request <= t_release:

t_system = t_request n += 1

# Добавляем момент поступления заявки t_request_list = np.append(t_request_list, t_system) if zan == 0:

zan = 1

t_release = t_system + uniform_distribution(a, b) else:

m += 1

# Следующий момент поступления заявки

t_request = t_system + (poisson_distribution(lam) if condition else erlang_distribution(order, lam))

else:

# Записываем в системное время момент освобождения ОУ t_system = t_release

# Увеличиваем счетчик обслуженных заявок k += 1

# Добавляем в список момент освобождения ОУ t_release_list = np.append(t_release_list, t_system) if m > 0:

m -= 1

t_release = t_system + uniform_distribution(a, b) else:

zan = 0

t_release = t_request if counter_N % 100 == 0:

T_new = np.mean(t_release_list - t_request_list[:len(t_release_list)])

if (np.abs((T_new - T_old) / T_old)) < 0.01: return T_new

T_old = T_new

# Функция для построения графиков

def modeling_experimental(order, nu_0, condition: bool):

# Генерация списка значений интенсивности входного потока lam = np.linspace(0.1, 1, 10) * nu_0

8

# Расчет границ для равномерного распределения b = 1 / nu_0 + 0.05 * nu_0

a = b - 0.1 * nu_0

# Среднее время пребывания запроса

T_experiment = np.array([]) for i in lam:

T_experiment = np.append(T_experiment, modeling(order, i, a, b,

condition))

print('Значения среднего времени Т пребывания запроса:',

T_experiment)

# Расчет теор. значения if condition:

# График эрланговского распределения x = np.linspace(0, 10, 200)

lmbda = np.mean(lam)

plt.plot(x, (((lmbda ** order) * (x ** (order - 1)) * np.exp(- lmbda * x)) / math.factorial(order - 1)),

lw=2, alpha=0.7, color='blue', label='k={}, lambda={}'.format(order, lmbda))

plt.title('График плотности Эрланговского распределения') plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

# График равномерного распределения x = np.linspace(a, b, 100)

plt.plot(x, [1 / (b - a)] * 100, lw=2, alpha=0.7, color='blue', label='a={}, b={}'.format(a, b))

plt.title('График плотности равномерного распределения') plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

# Расчет коэффициента вариации равномерного распределения v = ((b - a) * math.sqrt(3) / 6) / ((a + b) / 2)

# Расчет коэффициента загрузки системы p = lam[:9] / nu_0

# Расчет среднего числа запросов в системе

L = (p ** 2 * (1 + v ** 2)) / (2 * (1 - p)) + p

# Расчет среднего времени пребывания запроса в системе

T_theory = L / lam[:9]

# Построение графика теоритически расчитанного значения

9

plt.plot(lam[:9], T_theory, label='Теоретическое значение', color='orange')

else:

# Матрица результатов моделирования results_evaluation = np.empty((11, 2), dtype='object')

results_evaluation[0] = ['Интенсивность входного потока', 'Среднее время пребывания запроса']

results_evaluation[1:, 0] = np.transpose(lam) results_evaluation[1:, 1] = np.transpose(T_experiment) print(tabulate(results_evaluation))

# Построение графика экспериментально полученного значения plt.plot(lam[:9], T_experiment[:9], label='Рассчитанное значение',

color='black')

plt.title('Зависимость среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока')

plt.ylabel('Среднее временя Т пребывания запроса') plt.xlabel('Инт. входного потока')

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

return T_experiment

modeling_experimental(5, 4, True) modeling_experimental(5, 4, False)

10