ЛР 4 / ЛАБА_4

Цель работы:

Исследование основных характеристик входных потоков заявок, а также базовых принципов моделирования СМО по событиям.

Вариант №9.

Порядок эрланговского потока – 5

Равномерный закон

Ход работы:

Согласно варианту, закон распределения входного потока заявок эрланговский 5 порядка. Для эрланговского закона распределения плотность вероятности записывается следующим образом:

Пользуясь методом обратного преобразования, можно вывести следующее соотношение, позволяющее из чисел, сформированных базовым датчиком, получить числа с эрланговским законом распределения:

.

График закона распределения интервалов эрланговского распределения представлен на рисунке 1. Листинг кода представлен в приложении.

Рисунок 1 - График плотности Эрланговского распределения

Согласно варианту, закон распределения времени обслуживания заявок равномерный. Для равномерного закона распределения плотность вероятности записывается следующим образом:

Пользуясь методом обратного преобразования, можно вывести следующее соотношение, позволяющее из чисел, сформированных базовым датчиком, получить числа с эрланговским законом распределения:

Были выведены формулы для расчета a и b:

График закона распределения интервалов равномерного распределения представлен на рисунке 2. Листинг кода представлен в приложении.

Рисунок 2 - График плотности равномерного распределения

На рисунке 3 представлены теоретический и экспериментальный графики зависимости среднего времени пребывания заявки в системе от интенсивности пуассоновского входного потока для тестового испытания. Листинг кода представлен в приложении.

Рисунок 3 - График зависимости λ от T для тестового Пуассоновского входного потока

На рисунках 4-5 представлены результаты моделирования для получения требуемой экспериментальной зависимости среднего времени пребывания заявки в системе от интенсивности эрланговского входного потока и построенный по ним график. Листинг кода представлен в Приложении А.

Рисунок 4 - Зависимость среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока

Рисунок 5 - График зависимости λ от T для экспериментального Эрланговского входного потока

Вывод:

В ходе данной лабораторной работы я познакомилась с элементарными системами массового обслуживания (ЭСМО) с бесконечным буфером и смоделировала работу одной из таких систем. В смоделированной ЭСМО был реализован эрланговский закон распределения 5 порядка для входного потока заявок и равномерный закон распределения времени обслуживания заявок.

Был построен график зависимости среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока. Расчеты были проведены при разных значениях интенсивности в диапазоне значений λ = 0.1µ0, 0.2µ0, …, 1µ0, поэтому на графике видно, что чем больше интенсивность, тем больше среднее временя пребывания запроса в системе.

Приложение

import math

import numpy as np

import random

import matplotlib.pyplot as plt

from tabulate import tabulate

# Эрланговское распределение

def erlang_distribution(order, lam):

sum_uniform = 0

for j in range(0, order):

R = random.uniform(0.0, 1.0)

sum_uniform += math.log(R)

return (-1 * sum_uniform) / (lam * order)

# Равномерное распределение

def uniform_distribution(a, b):

R = random.uniform(0.0, 1.0)

return R * (b - a) + a

# Пуассоновский закон

def poisson_distribution(lam):

R = random.uniform(0.0, 1.0)

return (-1 * math.log(R)) / lam

# Функция для моделирования ЭСМО

def modeling(order, lam, a, b, condition: bool):

# Количество заявок поступивших / обслуженных / в буфере к данному моменту в СМО, системное время, статус занятости ОУ

n, k, m, t_system, zan = 0, 0, 0, 0, 0

# Моменты поступления заявок

t_request_list = np.array([])

# Моменты обслуживания заявок

t_release_list = np.array([])

# Старая оценка среднего времени пребывания запроса

T_old = 1000000

counter_N = 0

# Формирование случайного момента поступления заявки

t_request = poisson_distribution(lam) if condition else erlang_distribution(order, lam)

t_release = t_request

while True:

# Счетчик объема выборки

counter_N += 1

# Проверяем наступило ли время освобождения ОУ

if t_request <= t_release:

t_system = t_request

n += 1

# Добавляем момент поступления заявки

t_request_list = np.append(t_request_list, t_system)

if zan == 0:

zan = 1

t_release = t_system + uniform_distribution(a, b)

else:

m += 1

# Следующий момент поступления заявки

t_request = t_system + (poisson_distribution(lam) if condition else erlang_distribution(order, lam))

else:

# Записываем в системное время момент освобождения ОУ

t_system = t_release

# Увеличиваем счетчик обслуженных заявок

k += 1

# Добавляем в список момент освобождения ОУ

t_release_list = np.append(t_release_list, t_system)

if m > 0:

m -= 1

t_release = t_system + uniform_distribution(a, b)

else:

zan = 0

t_release = t_request

if counter_N % 100 == 0:

T_new = np.mean(t_release_list - t_request_list[:len(t_release_list)])

if (np.abs((T_new - T_old) / T_old)) < 0.01:

return T_new

T_old = T_new

# Функция для построения графиков

def modeling_experimental(order, nu_0, condition: bool):

# Генерация списка значений интенсивности входного потока

lam = np.linspace(0.1, 1, 10) * nu_0

# Расчет границ для равномерного распределения

b = 1 / nu_0 + 0.05 * nu_0

a = b - 0.1 * nu_0

# Среднее время пребывания запроса

T_experiment = np.array([])

for i in lam:

T_experiment = np.append(T_experiment, modeling(order, i, a, b, condition))

print('Значения среднего времени Т пребывания запроса:', T_experiment)

# Расчет теор. значения

if condition:

# График эрланговского распределения

x = np.linspace(0, 10, 200)

lmbda = np.mean(lam)

plt.plot(x, (((lmbda ** order) * (x ** (order - 1)) * np.exp(-lmbda * x)) / math.factorial(order - 1)),

lw=2, alpha=0.7, color='blue', label='k={}, lambda={}'.format(order, lmbda))

plt.title('График плотности Эрланговского распределения')

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

# График равномерного распределения

x = np.linspace(a, b, 100)

plt.plot(x, [1 / (b - a)] * 100, lw=2, alpha=0.7, color='blue', label='a={}, b={}'.format(a, b))

plt.title('График плотности равномерного распределения')

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

# Расчет коэффициента вариации равномерного распределения

v = ((b - a) * math.sqrt(3) / 6) / ((a + b) / 2)

# Расчет коэффициента загрузки системы

p = lam[:9] / nu_0

# Расчет среднего числа запросов в системе

L = (p ** 2 * (1 + v ** 2)) / (2 * (1 - p)) + p

# Расчет среднего времени пребывания запроса в системе

T_theory = L / lam[:9]

# Построение графика теоритически расчитанного значения

plt.plot(lam[:9], T_theory, label='Теоретическое значение', color='orange')

else:

# Матрица результатов моделирования

results_evaluation = np.empty((11, 2), dtype='object')

results_evaluation[0] = ['Интенсивность входного потока', 'Среднее время пребывания запроса']

results_evaluation[1:, 0] = np.transpose(lam)

results_evaluation[1:, 1] = np.transpose(T_experiment)

print(tabulate(results_evaluation))

# Построение графика экспериментально полученного значения

plt.plot(lam[:9], T_experiment[:9], label='Рассчитанное значение', color='black')

plt.title('Зависимость среднего времени пребывания запроса от интенсивности входного потока')

plt.ylabel('Среднее временя Т пребывания запроса')

plt.xlabel('Инт. входного потока')

plt.grid()

plt.legend()

plt.show()

return T_experiment

modeling_experimental(5, 4, True)

modeling_experimental(5, 4, False)