Практика 2
.docТема 2: Оценка центра распределения по неравноточным наблюдениям
Краткие теоретические сведения
Пусть имеется серия
независимых между собой наблюдений
одного и того же объекта. Постулируется,
что
где a – центр распределения, но
,
(1)
Причем
,
т.е. величины имеют одинаковые центры
и различные дисперсии. Последнее
означает, что наблюдения являются
неравноточными.
В этом случае для оценки центра рассеяния a вместо обычной средней арифметической целесообразно использовать «взвешенную» среднюю арифметическую
(2)
где
– «все» наблюдения
.
Для того, чтобы оценка
была несмещенной (т.е. при любом
),
необходимо ввести условие
a =
или
=
1 (3)
Веса следует выбирать так, чтобы оценка имела наименьшую возможную дисперсию, причем из того, что
с учетом (3), имеем дисперсию математического ожидания
(4)
Дифференцируя (4) по
и приравнивая частные производные нулю,
определяем условия для оценивания
«наилучших» весов:
или
Отсюда следует правило: веса
должны быть обратно пропорциональны
дисперсиям
(5)
Пусть
– положительные числа,
удовлетворяющие (5). Для соблюдения
условия (3), достаточно в качестве весов
взять числа
.
В этом случае (2) преобразуется к виду
(6)
и (4) приобретает вид
(7)
Пример. Измерения технического параметра аппаратной компоненты аппаратно-программного комплекса приборами разной точности дали результаты, приведенные в таблице 1.
Таблица 1
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
11,3 |
10,8 |
9,8 |
10,4 |
2 |
|
11,1 |
10,7 |
11,2 |
3 |
|
10,9 |
|
10,1 |
4 |
|
|
|
9,9 |
Σ |
11,3 |
32,8 |
20,5 |
41,6 |
Известно, что дисперсия погрешностей измерений на применявшихся приборах имели следующие значения (в условных единицах)
Требуется оценить отклонение a действительного значения параметра П от номинального значения.
Решение. Имеем N=10 результатов измерений. На основании (5) получаем:
Отсюда
На основании (6)
Задание на работу
На основе таблицы, номер которой соответствует варианту задания, рассчитать оценку центра распределения.
Дать письменные ответы на контрольные вопросы.
Вариант 1
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
1,1 |
6,9 |
1,8 |
-4,5 |
2 |
1,2 |
5,0 |
-2,2 |
-0,2 |
3 |
|
9,2 |
1,2 |
2,2 |
4 |
|
24,5 |
9,9 |
|
5 |
|
2,5 |
|
|
6 |
|
32,6 |
|
|
7 |
|
25,6 |
|
|
8 |
|
20,6 |
|
|
9 |
|
-10,7 |
|
|
10 |
|
4,4 |
|
|
Вариант 2
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
2,9 |
7,1 |
0,8 |
-6 |
2 |
0,2 |
-3,7 |
2,5 |
11,4 |
3 |
5,9 |
4,2 |
|
1,9 |
4 |
-4,1 |
7,8 |
|
0 |
5 |
8,4 |
0,8 |
|
3,2 |
6 |
15,3 |
|
|
24,1 |
7 |
7,8 |
|
|
3,1 |
8 |
18,5 |
|
|
21,1 |
Вариант 3
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
0 |
4 |
7,5 |
12,7 |
2 |
8,2 |
12,1 |
4,3 |
7,5 |
3 |
5,7 |
15,2 |
6,3 |
7,2 |
4 |
5,5 |
-3,3 |
3,5 |
8,2 |
5 |
9,9 |
21,7 |
4,7 |
|
6 |
5,1 |
17,8 |
|
|
7 |
|
1,5 |
|
|
8 |
|
13,2 |
|
|
9 |
|
1,9 |
|
|
10 |
|
24,3 |
|
|
Вариант 4
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
8,6 |
-1,5 |
9,9 |
8,7 |
2 |
11,6 |
8,4 |
11,0 |
6,5 |
3 |
-0,1 |
9,4 |
6,2 |
|
4 |
6,8 |
6,6 |
14,7 |
|
5 |
-2,4 |
|
0,6 |
|
6 |
14,5 |
|
8,0 |
|
7 |
3,3 |
|
0,0 |
|
8 |
24,6 |
|
-1,3 |
|
9 |
21,8 |
|
-6,4 |
|
10 |
12,3 |
|
28,9 |
|
Вариант 5
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
4,9 |
-1,2 |
5,5 |
15,4 |
2 |
|
13,2 |
25,2 |
3,7 |
3 |
|
-2,3 |
-0,4 |
11,6 |
4 |
|
8,9 |
8,9 |
-3,2 |
5 |
|
22,7 |
-4,2 |
6,7 |
6 |
|
13,4 |
24,6 |
9,0 |
7 |
|
22,2 |
16,9 |
5,4 |
8 |
|
12,6 |
24,8 |
-0,6 |
9 |
|
6,9 |
10,7 |
|
Вариант 6
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
7,7 |
-1,1 |
10,1 |
8,2 |
2 |
11,4 |
-9,3 |
8,4 |
8,1 |
3 |
14,8 |
0,7 |
17,4 |
16,2 |
4 |
2,9 |
17,9 |
7,6 |
11,1 |
5 |
11,8 |
9,9 |
9,9 |
|
6 |
12,0 |
9,2 |
3,2 |
|
7 |
20,4 |
5,7 |
13,6 |
|
8 |
|
7,4 |
11,8 |
|
9 |
|
18,2 |
|
|
Вариант 7
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
5,9 |
2,6 |
4,3 |
7,9 |
2 |
1,4 |
10,8 |
8,9 |
7,4 |
3 |
1,9 |
6,6 |
7,4 |
13,8 |
4 |
12,0 |
2,9 |
9,6 |
|
5 |
20,2 |
17,7 |
8,4 |
|
6 |
14,3 |
9,5 |
5,4 |
|
7 |
|
-16,0 |
|
|
8 |
|
31,4 |
|
|
9 |
|
12,3 |
|
|
Вариант 8
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
1,2 |
-1,9 |
9,1 |
9,9 |
2 |
1,1 |
6,6 |
5,7 |
11,8 |
3 |
0,5 |
5,1 |
16,9 |
5,7 |
4 |
2,2 |
10,4 |
14,0 |
|
5 |
11,0 |
5,6 |
-1,8 |
|
6 |
16,1 |
5,8 |
|
|
7 |
15,4 |
15,8 |
|
|
8 |
3,2 |
12,0 |
|
|
9 |
29,7 |
16,0 |
|
|
10 |
|
13,5 |
|
|
Вариант 9
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
8,6 |
-2,3 |
9,8 |
9,4 |
2 |
-5,0 |
2,9 |
-6,6 |
7,2 |
3 |
6,8 |
8,2 |
2,9 |
18,4 |
4 |
5,5 |
18,7 |
3,1 |
6,0 |
5 |
28,7 |
17,4 |
2,8 |
|
6 |
-7,9 |
14,0 |
19,9 |
|
7 |
6,9 |
22,0 |
4,1 |
|
8 |
19,9 |
11,7 |
16,0 |
|
9 |
24,4 |
|
15,9 |
|
10 |
1,8 |
|
|
|
Вариант 10
Порядковый номер измерения |
Отклонение от номинального значения (условные единицы) |
|||
Прибор 1 |
Прибор 2 |
Прибор 3 |
Прибор 4 |
|
1 |
7,0 |
3,6 |
15,7 |
13,6 |
2 |
9,7 |
1,2 |
20,7 |
16,2 |
3 |
1,6 |
7,9 |
14,9 |
8,5 |
4 |
18,0 |
17,2 |
15,5 |
22,0 |
5 |
15,3 |
5,2 |
7,2 |
21,7 |
6 |
21,6 |
13,0 |
1,1 |
12,7 |
7 |
|
-1,5 |
23,0 |
11,1 |
8 |
|
9,1 |
|
16,6 |