31.Эвольвента окружности, ее уравнения и свойства.

Эвольвента – это траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по окружности.

Образование эвольвенты можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.

Свойства эвольвенты

1)Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2)Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, т. е. геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, ρА = AC. В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен

нулю, ρA0 = 0.

4) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью,

ρA =  C0C.

5) Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6) Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

Уравнение эвольвенты

Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 3.3. Положение произвольной точки Ay эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиус-вектора OA0 (или OC0): длиной радиус-вектора Ry и углом θy. Радиусвектор Ry определим из прямоугольного треугольника OAyCy: Ry^rb cos y

Для определения полярного угла θy сначала выразим длину дуги основной

окружности через её радиус и центральный угол:

С0Сy rb ( y y ).

Выразим теперь противолежащий углу αy катет AyCy в ∆OAyCy:

AyCy rb tg y .

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

AyCy С0Сy .

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно θy, получаем y tg y y .

В этих математических выражениях и на рис. 3.3 угол αy называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, т. е. inv, так что окончательно уравнение имеет вид: θy = invαy.

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент αy изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.

32.Основные геометрические параметры зубчатого колеса.

Основные параметры и размеры зубчатого колеса:

z – число зубьев колеса;

m – модуль зацепления;

αω - угол зацепления (для колес с нормальным исходным контуром αω=20°);

ha=m – высота головки зуба;

hf=1,25∙m – высота ножки зуба;

p – окружной шаг зацепления (по делительной окружности);

p_в - шаг зубьев по основной окружности;

S, Sв –толщина зубьев соответственно по делительной и основной окружности;

x- коэффициент смещения.

Напомним, что меньшее из пары зубчатых колес называют шестерней,а большее –колесом. Параметрам шестерни приписывают индекс 1, а параметрам колеса – 2 (рис. 4.4).Передаточным числом называют отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни.

. (4.10)

Касание двух взаимодействующих эвольвент происходит только на общей касательной Е1Е2 к их основным окружностям. Общая касательная к двум основным окружностям называется линией зацепления. Участок линии зацепления, ограниченный окружностями вершин зубьев , называется активной линией зацепления. Любая точка линии зацепления может быть полюсом зацепления Р. Угол, образованный общей касательной к двум основным окружностям и перпендикуляром к линии их центров, называется углом зацепления .

Относительное движение двух эвольвент может быть представлено цилиндрами, вращающимися относительно друг друга посредством трения, без скольжения. Такие цилиндры называются начальными, а их диаметры – диаметрами начальных окружностей (dw1 и dw2). У сопряженной пары некоррегированных зубчатых колес, работающих при правильном межосевом расстоянии, делительные окружности совпадают с начальными.

Рис. 4.4.Геометрические параметры зубчатой передачи

Делительная окружность – параметр, введенный для удобства в расчетах, определяемый через модуль и число зубьев колес:

d=mz . (4.11)

Параметрам, относящимся к делительной поверхности или окружности, дополнительного индекса не приписывают.

Модуль– это часть диаметра делительной окружности, приходящаяся на один зуб колеса (мм):

M=d/z.(4.11)

Модуль чаще определяется как отношение шага рпо делительной окружности к числу π:

. (4.12)

Ряд модулей, применяемых для цилиндрических, шевронных, конических и червячных передач, стандартизован (ГОСТ 9563–60).

Исходным контуром называется контур зубчатой рейки в нормальном к направлению зубьев сечении. Исходный контур для цилиндрических колес внешнего и внутреннего зацепления представляет собой зубчатую рейку с прямолинейным профилем в пределах глубины захода h_d=2m(рис. 4.5). Под глубиной захода понимается высота зуба, которая участвует в работе.

Угол профиля , нормальная величина радиального зазора равна, а радиус закругления у корня зуба исходного контура составляет.