Учебная практика -- метод. указания для 1 курса

3) «Михаил не изучает арабский».

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе – ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ. Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский, Ва-

дим – арабский.

Пример 2.2. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран.

Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы:

Россия: «Проект не наш, проект не США»; США: «Проект не России, проект Китая»; Китай: «Проект не наш, проект России».

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

– российского:

1)«Проект не наш»;

2)«Проект не США»;

– американского:

3)«Проект не России»;

4)«Проект Китая»;

– китайского:

5)«Проект не наш»;

6)«Проект России».

Узнаем, кто из министров самый откровенный. Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

11

Если самый откровенный – министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, следует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ. Откровенным был китайский министр, осторожным – российский, скрытным – министр США.

2.2. Табличный метод решения

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц. Форма представления условия задачи в виде таблицы во многом облегчает процесс решения своей наглядностью.

Пример 2.3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

–Смит самый высокий;

–играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

–играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

–когда между альтистом и трубачом ссора, Смит мирит их;

–Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если

каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу соответствий (табл. 2.1) и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0

и1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе

игобое. Следовательно, инструменты Брауна – альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «Альт» и «Кларнет» заполним нулями.

12

Из табл. 2.1 видно, что на трубе может играть только Вессон. Далее, из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки «Вессон» можно заполнить нулями (табл. 2.2).

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит. Окончательный результат отображен в табл. 2.3.

Ответ. Браун играет на альте и кларнете, Смит – на флейте и го-

бое, Вессон – на скрипке и трубе.

Пример 2.4. Три одноклассника Влад, Тимур и Юра встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего – регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и

13

увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто

чем любит заниматься, в свободное время и у кого какая профессия. Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя –

профессия – увлечение). Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист. Внесем эти данные в таблицу соответствий (табл. 2.4).

Буква «а», присутствующая в слове «врач», указывает на то, что Влад тоже не врач. Следовательно, врач – Тимур. В его имени есть буквы «т» и «р», встречающиеся в слове «туризм», следовательно, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени – Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы «ю» и «р». Следовательно, окончательно имеем следующий результат (табл. 2.5):

Ответ. Влад – юрист и регбист, Тимур – врач и турист, Юра – физик и бегун.

2.3. Метод графов

Метод графов, как и табличный метод делает доказательство более наглядным и позволяет кратко и точно изложить доказательства теорем и решения задач, а также позволяет видеть ход доказательства.

Пример 2.5. Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?

14

Решение. Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная – что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф G1 (рис. 2.1). Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в короб может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктир-

ные. Получается граф G2, дающий решение задачи.

Ответ. Зеленый карандаш лежит в синей коробке, красный –

взеленой, синий – в желтой, желтый – в красной.

Вследующем примере применение графов помогает обнаружить

наличие двух решений.

Пример 2.6. Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Они же владеют разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским), но каждая только одним. Известно, что:

1)девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански;

2)Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

3)Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

4)девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели;

5)Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Рис. 2.1. Решение примера 2.5 методом графов

15

Рис. 2.2. Решение примера 2.6 методом графов

Решение. Условию задачи соответствует граф G1, изображенный на рис. 2.2. Проведем последовательно следующие очевидные сплошные отрезки: КС, ВЖ, ВФ, АК – получим граф G2. Видно, что тем самым образуются два «сплошных» треугольника ЖВФ и КСА. Проводим еще сплошной отрезок РН. Теперь убеждаемся, что условия задачи не обеспечивают однозначности выбора третьей точки для каждой из пар РН и ГИ. Возможны следующие варианты «сплошных» треугольников: МГИ и ЛРН или ЛГИ и МРН. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ. 1) Женя – виолончель и французский, Катя – скрипка и английский, Маша – гитара и испанский, Лида – рояль и немецкий; 2) Женя – виолончель и французский, Катя – скрипка и англий-

ский, Маша – рояль и немецкий, Лида – гитара и испанский.

2.4. Метод решения средствами алгебры логики

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века из трудов английского математика Джорджа Буля. Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Ее создание представляло собой результат попытки решить традиционные логические задачи алгебраическими методами. Алгебра логики является одной из основ вычислительной техники.

Обычно при решении средствами алгебры логики используется следующий алгоритм:

–изучить условие задачи;

–выделить простые высказывания;

16

–записать условие задачи на языке алгебры логики;

–составить конечную формулу: для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение к единице;

–упростить формулу;

–проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых значение функции равно 1;

–из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на ос-

новании которых делается заключение о решении; Пример 2.7. Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула–1»,

спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

–Вот увидишь, Шумахер не придет первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.

–Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

–Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения тре-

тьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки? Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

–S – победит Шумахер;

–X – победит Хилл;

–А – победит Алези.

Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывание каждого из друзей:

–Джон: S X

–Ник: S A

–Питер: X

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание F:

F S X S A X S X S A X S X S A X

S X S A X S A X.

17

Осталось определить, при каких значениях переменных высказывание F истинно. В данном случае высказывание F истинно толь-

ко при S=1, A=0, X=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Пример 2.8. Андрей, Аня и Маша решили пойти в кино. Каждый из них высказал свои пожелания по поводу выбора фильма.

Андрей сказал: “Я хочу посмотреть французский боевик”. Маша сказала: “Я не хочу смотреть французскую комедию”. Аня сказала: “Я хочу посмотреть американскую мелодраму”. Каждый из них слукавил в одном из двух пожеланий. На какой

фильм пошли ребята?

Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

–А – “Французский фильм”

–В – “Боевик”

–С – “Комедия”

Запишем логические функции (сложные высказывания). Учтем условие о том, что каждый из ребят оказался прав в одном предположении:

–«Французский боевик»: A B A B

–«Американская мелодрама»: A B A B

–«Не французская комедия»: A C A C

Обозначим произведение указанных функций как F, упростим полученную формулу и приравняем его к единице:

F A B A B A B A B A C A C A B C A B C 1

Составим таблицу истинности (табл. 2.6).

Таблица 2.6

18

Найдем по таблице значения переменных, для которых выраже-

ние F равно 1. Таких результатов два, обозначим их условно как А и Б:

Результат А имеет вид, представленный в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Результат А

Результат Б – в табл. 2.8.

Таблица 2.8

Результат Б

Анализ полученных результатов говорит о том, что результат Б не является решением, т. к. в ответе Маши оба утверждения оказываются неверными, а это противоречит условию задачи. Результат А полностью удовлетворяет условию задачи и поэтому является верным решением.

Ответ. Ребята выбрали американский боевик.

19

3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

3.1. Задание 1

Составить алгоритм действий и решить задачу. Варианты заданий указаны в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Варианты условия задания 1

Номер

Условие задачи

варианта

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 1, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза

1

число камней в какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 17 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков: игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в

2

3 раза число камней в какой-то кучке, или добавляет 1 камень в какую-то кучку. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучках становится не менее 16 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре: игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 4, а во второй – 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в

3

3 раза число камней в какой-то кучке, или добавляет 2 камня в какую-то кучку. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучках становится не менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков: игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат три

4

кучки камней, в первой из которых 2, во второй – 3, в третьей – 4 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает

20