1.14. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл вида где R – рациональная функция своих аргументов.

Универсальная подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, при этом

, , .

Итак:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Применим универсальную подстановку

,

получим

1.15. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывная на отрезке и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок на n частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежутке произвольным образом точки .

Обозначим Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при .

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные и выбора на них точек , то он и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Если – любая первообразная для функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью ох:

Если меняет знак конечное число раз на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где и отрицателен, где :

.

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , тогда при условии имеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение

у у=х+3 у=х2+1 3 –3 –1 0 2 х

Найдем точки пересечения: ,

1.16. Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть дана функция , которая определена и непрерывна на промежутке . Пусть интеграл существует для любого конечного b и пусть

Предел интеграла при называется несобственным интегралом 1-го рода от функции на и обозначается символом .

Итак, .

Если этот предел конечен, то говорят, что интеграл сходится, а функцию называют интегрируемой на Если предел бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.

Вычислить несобственный интеграл 1-го рода можно по определению.

Пример

Вычислить интеграл или установить его расходимость .

Решение

, интеграл сходится.

Аналогично определяются еще два вида несобственных интегралов 1-го рода: и , с – любое число.

Контрольная работа № 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

2.1. Найти дифференциал функции .

2.2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

2.3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

2.4. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

2.5. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

2.5.1. .

2.5.2. .

2.5.3 .

2.6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд: .

2.7. Найти область сходимости степенного ряда: .

2.8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .