Коды, обнаруживающие трёхкратные ошибки

Методика построения следующая:

1) Выбор числа корректирующих разрядов

n_k – количество корректирующих разрядов

Значения логарифма округряется до целых чисел в большую сторону

Пример: n_u = 2 = 4

2) Выбор образующего многочлена. Он производится исходя из следующих соображений: для обнаружения трёхкратной ошибки надо иметь d₀ = r + 1 = 3 + 1 = 4 степень обратного многочлена должна быть больше или равна четырём, т.е.

Этот многочлен получают как произведение многочлена степени (n_k - 1)т.е. 3, который позволяет обнаруживать все двойственные ошибки и многочлены первой степени (x + 1), который обнаруживают любое количество нечётных ошибок. Полученный многочлен унаследует корректирующие свойства, т.е. он будет обнаруживать одиночную и тройную ошибки, используя корректирующие свойства многочлена x + 1 и будет обнаруживать двойные ошибки, используя свойства Шеннона, например x³+ x² +1.

Произведём умножение

M₁ = x + 1

M₃ = x³ + x² + 1

M₁ x M₃ = (x + 1)( x³ + x² + 1) = x⁴ + x² + x +1 = k(x)

x³ + x³ = 0 k(x) = 10111

x³ + x³ + x³ = x³

3) Построение образующей матрицы

Производятнахождением остатка последней строки единичной повёрнутой матрицы на обратный многочлен 100…к(х) - методика в прошлой лекции. Второй способ умножением строки единичной матрицы на образующий многочлен. Остальные комбинации получают суммированием комбинаций строк.

4) Обнаружение ошибок производят по остаткам от деления принятого кодового вектора на образующий многочлен. Если остатки есть, то принята ошибочная комбинация.

Пример: Строим код на четыре комбинации

01 х к(х) = 01 x 10111 = 010111

10 х к(х) = 10 х 10111 = 101110

Обратная матрица