Декодирование циклических кодов

Остатки от деления полученного вектора на образующий многочлен является опознавательным. Идея обнаружения ошибки заключается в следующем принятая кодовая комбинация делится на образующий многочлен. Если есть остаток, то производится циклический сдвиг принятой кодовой комбинации. Затем сдвинутая комбинация снова делится на образующий многочлен. После ряда циклических сдвигов определяется такое положение, при котором остаток минимален.

Таблица неприводимых двоичных многочленов

Код	Многочлен	Код	Многочлен
11	x + 1	10001	x4 + 1
101	x2 + 1	10011	x4 + x + 1
111	x2 + x +1	10101	x4 + x2 +1
1001	x3 + 1	10111	x4 + x2 +x + 1
1011	x3 + x +1	11001	x4 + x3 + 1
1101	x3 + x2 + 1	11011	x4 + x3 + x + 1
1111	x3 + x2 + x + 1	11101	x4 + x3 + x3 +1
		11111	x4 + x3 + x2 + x + 1

Построение декодированного конкретного циклического кода

Код, исправляющий одиночную ошибку. d₀ = 3.

1) Расчёт соотношении между контрольными и информационными символами кода.

n_k = log((n_u + 1) + log(n_u + 1))

2) Выбор образующего многочлена производится по таблице непреводимых двоичных многочленов. Образующий многочлен следует выбирать с минимальным числом элементов. Его степень должна быть больше или равна числу контрольных разрядов. Число элементов должно быть .

Пример: Построим циклический код d₀ = 3 для передачи шестнадцати сообщений.

n_u = 4 n_k = 3

k(x) = 1011 Строим единичную повёрнутую матрицу размером n_u

Находим остатки от делений последовательной строкина образующий многочлен.

1

Остаток

011

110

111

101

0000 1011

1011

01100

1011

1110

1011

101

1+2 2+4 1+2+3+4

1+3 3+4

1+4 1+2+3

2+3

Обнаружение и определение ошибок

Производится по остаткам деления принятого кодового вектора. Если в результате образовался остатокR(x) = 0, то комбинация принята без ошибок. Если есть остаток, то производят исправления. Для этого

1. Определяют вес остатка

Если W_R S , где S –количество исправленных ошибок, то производят коррекцию. Для этого F(x) + R(x) и эта сумма даёт исправленную комбинацию.

Если вес W_R S , топроизводят циклический сдвиг F(x) влево, образуют новую комбинацию F₁(x).

Полученную комбинацию делят на обратный многочлен

- остаток

Если , то производяткоррекцию F₁(x) + R₁(x), затем полученную комбинацию сдвигают вправо циклически на один разряд.

Если , то ещё разсдвигаем циклически влево и т.д.

Пример: Пусть посылается комбинация u(x) = 0100111 (из обратной матрицы)

Пусть принята комбинация F(x) = 1100111, содержащая ошибку в единичном разряде

U(x) = 0100111 K(x) = 1011

F(x) = 1100111 S = 1

1100111 1011

1011

1111 R = 101

1011 W_R = 2 > S

1001

1011

101

1001111 1011

1011

1011 R₁ = 1

1011 = 1 = S  можем производить коррекцию

01

F₁(x) + R₁(x) 1001111

1

1001110

Циклически сдвигаем комбинацию вправо на один разряд 0100111 – исправляется кодовая комбинация.

Сложение двух соседних комбинаций циклического кода эквивалентно операции умножения первого слагаемого на x + 1.

000101 две комбинации из производящей матрицы

001010 (x² + 1) * (x +1) = x³ + x +x² +1 = 001111

001111

Образующие многочлены представляют собойьнеприводимые многочлены.