Особенности декодирования.

При наличии одной ошибки проверкой на чётность можно обнаружить ошибку. Проверки по позициям укажут номер ошибочной позиции. При наличии двойной ошибки, проверка на чётность не фиксирует ошибку. Проверки по позициям укажут наличие ошибки.

Пример: Построить код Хэминга для исправления одиночной и обнаружения двойной ошибки четырёх значного двоичного кода.

0001 n_u = 4 n_k = 3

Макет кода

а₁а₂а₃а₄а₅а₆а₇

k₁k₂0k₃001k₄

Схема проверок:

1) a₁ + a₃ + a₅ + a₇ = k₁ + 0 + 0 + 1 = 0  k₁ = 1

2) a₂ + a₃ + a₆ + a₇ = k₂ + 0 + 0 + 1 = 0  k₂ = 1

3) a₁ + a₅ + a₆ + a₇ = k₃ + 0 + 0 + 1 = 0  k₃ = 1

11010010

1101001k₄ Количество единиц чётное, следовательно сам код

Рассмотрим пример для v_k = 01001011. Пример обнаружения единичной ошибки.

a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇

v_k = 01001011  ошибка в четвёртом разряде

v_x = 01011011

1. Проведим проверки на чётность, которые указывают наличие одиночной ошибки.

2. Проведим проверку по позициям.

Составляем схему проверок

1) a₁ + a₃ + a₅ + a₇ = 0 + 0 + 1 + 1 = 0  s₁ = 0

2) a₂ + a₃ + a₆ + a₇ = 1 + 0 + 0 + 1 = 0  s₂ = 0  S = (001)  a₄

3) a₁ + a₅ + a₆ + a₇ = 1 + 1 + 0 + 1 = 1  s₄ = 1

Пример: Обнаружение двойной ошибки.

V_k = 01001011

V_x = 11011011

1. Делаем проверку на чётность, число единиц чётное, следовательно, проверка ошибки не обнаруживает.

2. Делаем проверки по позициям

Схема

1) a₁ + a₃ + a₅ + a₇ = 1 + 0 + 1 + 1 = 1  s₁ = 1

2) a₂ + a₃ + a₆ + a₇ = 1 + 0 + 0 + 1 = 0  s₂ = 0  S = (101)

3) a₁ + a₅ + a₆ + a₇ = 1 + 1 + 0 + 1 = 1  s₃ = 1

В этом случае S не указывает разряд ошибки, но S просто показывает, что она есть.

Циклические коды

Циклические коды названы так, потому что у них часть комбинаций может быть получена путём сдвига одной или нескольких комбинаций. Для проверки и обнаружения ошибок используется операции циклического сдвига. Циклические коды относятся к числу систематических кодов.

Идея построения циклических кодов базируется на использовании неприводимых в поле двоичных чисел многочленов.

Не приводимыми называют многочлены, которые делятся без остатка на себя и на единицу. Под полем двоичных чисел подразумевается, что все операции проводятся по правилам сложения (и т.д.) двоичных чисел. Неприводимые многочлены играют роль производящих многочленов. Если информацию кодовой комбинации умножить на выбранный неприводимый многочлен, то получим циклический код. Корректирующая способность кода будет определяться видом неприводимого многочлена. В теории циклических кодов, кодовые векторы принято представлять в виде полиномов.

x³x²x¹x⁰

Например: u(x) = x³ + x² +1  1 1 0 1

Построим циклический код. Образующий многочлен к(х) = х³ + х + 1 = 1011. При построении циклических кодов существует несколько приёмов.

1. Умножим кодовый вектор u(x) на одночлен той же степени, что и образующий многочлен.

u(x) * xⁿ = (x³ + x² + 1) * x³ = x⁶ + x⁵ + x³ = 1101000

инф.. корректирующие разряды

часть

Чтобы уточнить значения корректирующих разрядов производят деление . Делить можно используя полиномы и значения двоичных разрядов.

Разделим один многочлен на другой

1101 000 1011 001

1011 1101001

1100

1011

1110

1011

1010

1011

001  остаток от деления - он прибавляется к исходной комбинации

1101000

+ 001

1101001 - искомый циклический код

В общем виде можно записать

, где Q(x) – частное; K(x) – остаток

Умножим левую и правую часть k(x) и получим:

u(x) * xⁿ = Q(x) * K(x) + R(x)

u(x) * xⁿ + R(x) = Q(x) * K(x) – знак перед R(x) не имеет значение

= F(x) – это цикловой код.

Т.о. получается два способа образования циклического кода:

1) Путём умножения одной из комбинаций информационной части кода на образующий многочлен:

Q(x) * K(x) = I(x)

2) Умножение заданной комбинации на одночлен и той же степени, что и выбранный образующий многочлен с добалением остатка от деления.

Эти способы являются теоретическим основанием для построения кодирующих и декодирующих устройств.

Образующий многочлен K(x) принимает участие в образовании в каждой кодовой комбинации. Поэтому любой многочлен циклического кода делится на образующий без остатка. Если при делении обнаружен остаток, значит принятая комбинация содержит ошибку.

Для построении циклических кодов обычно используют образующую матрицу.

Способы построения образующей матрицы:

Первый способ

1) Образующая матрица получатся как результат слияния двух матриц: Первая - единичная повёрнутая размером n_u.

n_u = 4

Дополнительная матрица имеет n_u – строк и n_k – столбцов. Для определения строк дополнительной матрицы используют результаты делений последней строки первой повёрнутой матрицы на образующий многочлен.

10000 …k(x)

В качестве строк дополнительной матрицы используются остатки от деления.

Пример: k(x) = 1011

Рассмотрим процедуру деления

1

Остаток

011

110

111

101

001

010

100

00000… 1011

1011

01100

1011

1110

1011

1010

1011

001000

1011

В дополнительной матрице используются лишь те остатки, вес которых W = d₀ – 1. d₀ – минимальное кодовое расстояние. Строки образующей матрицы представляют собой первые комбинации искомого кода. Остальные комбинации получают суммированием различных сочетаниям строк.

Второй способ

Образующая матрица может быть построена в результате умножения элементов единичной матрицы размером n_u на образующий многочлен.

Третий способ

Образующая матрица может быть получена в результате циклического сдвига любой комбинации, полученной по способу два.