Физика / Методичка / gl4

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М.Ф. Решетнева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u2 – функция распределения Максвелла,

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

13. Закон Фука

m D dndx m1S t ,

где т – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время t; D – коэффициент диффузии; dndx – градиент кон-

центрации молекул; т1 – масса одной молекулы. 14. Коэффициент диффузии

D1 vl. 3

Примеры решения задач

Задача 1. Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 ºК, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше, чем на 4 м/с.

Д а н о:

v = 8 м/с Т = 300 ºК

N ?

Р е ш е н и е

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла): число молекул N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + u, равно

N N f u u,

(1)

Здесь N – полное число молекул газа,

u vvв,

где v – данная скорость; vв – наиболее вероятная скорость.

Уравнение (1) справедливо при условии u u. По условию задачи v = vв, следовательно, u vvв 1 и уравнение (1) примет вид

	N		4			u.

	N		e
Сначала			убедимся,				что
u u. Так как					u v vв,		то
		u		v		.	(2)

					vв

Определим теперь наиболее вероятную скорость

vв	2RT	3,95 102 м/с.

Подставляя это значение vв в (2) и имея ввиду, что v = 8 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от vв 4 м/с доvв 4 м/с, получим

		u		8			2,02 10 2,
т. е. u u.		u		3,95 102			2,02 10 2,
				3,95 102

	N	4			u	4 2,02		10 2
									0,017.
	N								0,017.
	N		e				3,14	2,7

Задача 2. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при нормальных условиях.

Д а н о:

р = 105 Па Т = 273 К

= 32 ·10–3 кг/моль= 0,35 ·10–9 м

= ?

Р е ш е н и е

Средняя продолжительность свободного пробега молекул равна отношению

v ,

где l – средняя длина свободного пробега мо-

лекул;

v – средняя арифметическая скорость молекул.

Среднюю длину свободного пробега молекул газа можно вычислить по формуле

l			kT		6,95 10 8		м,

		2 2 p

где – эффективный диаметр молекул;						k – постоянная Больцмана.
Средняя арифметическая скорость молекул газа вычисляется по формуле

v				8RT		425 м/с.


Тогда
	6,95 10 8				1,6 10 10		с.

425

О т в е т: = 1,6 ·10–10 с.

Задача 3. Пространство между двумя большими параллельными пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластинами l = 50 мм. Одна пластина поддерживается при температуре Т1 = 293 К, другая при температуре Т2 = 313 К. Вычислить поток тепла q, приходящейся на единицу площади пластин, если давление в газе 760 мм рт.ст.

Д а н о:

Р е ш е н и е

l = 5 ·10–2 м

Из закона Фурье количество теплоты, прошедшей по-

T1 = 293 К

средством теплопроводности через площадь S за время

T2 = 313 К

t, равно

р = 105 Па

Q K

S t .

Поток тепла представляет собой количество тепла,

прошедшее через площадь S за единицу времени, поэтому

S t

Коэффициент теплопроводности

K1 vl cV, 3

где – плотность гелия;

v	8RT	;	l	kT	; c	iR	.

				2 2 p	V	2

Плотность гелия при данных условиях можно найти, пользуясь уравнением Менделеева–Клапейрона

pV	m	RT , откуда	m		p	.

V RT

Подставив выражения для v, l, cV и , выразим К:

8RT

2 2 pNA

RT 2

3 2NA

где T T1 T2 2.

Тогда поток тепла через единичную площадь будет равен


	iR		RT	T2 T1
	iR			T2 T1
q					20	Bт	.
		3 2NA l			20		.
S		3 2NA l				м2
		80

Задачи

8-1. Найти среднее число столкновений в ед. времени и среднюю длину свободного пробега молекулы гелия, если газ находится под давлением 2 кПа при температуре Т = 200 ºК.

8-2. Найти среднюю длину свободного пробега молекулы азота в сосуде объемом 5 л. Масса газа 0,5 г.

8-3. Водород находится под давлением 0,2 МПа и имеет температуру Т = = 300 ºК. Определить среднююдлину свободногопробега молекулы такогогаза.

8-4. При нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,112 пм. Определить эффективный диаметр молекулы водорода.

8-5. Какова средняя арифметическая скорость молекулы кислорода при давлении 760 мм рт.ст., если известно, что средняя длина свободного пробега молекулы при этих условиях равна 100 нм.

8-6. Определить число всех столкновений между молекулами, которые произойдут в 1 см3 азота при нормальных условиях в течение 1 с.

8-7. Средняя длина свободного пробега молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 нм. Найти плотность водорода приэтих же условиях

8-8. Найти среднюю длину свободного пробега молекулы водорода при давлении 30 кПа и температуре t = +173 ºС.

8-9. Рассчитать среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при нормальном давлении и температуре, и среднее время между двумя столкновениями.

8-10. Медный кофейник нагревается на примусе. Вода доведена до кипения и выделяет каждую минуту 2 г пара. Толщина дна кофейника 2 мм, а площадь 300 см2. Определить разность температур между внутренней и наружной поверхностями дна кофейника, предполагая, что дно нагревается равномерно. Коэффициент теплопроводности меди К = 22 Вт/м·К.

8-11. Какая часть молекул кислорода при 0 ºС обладает скоростью от

100 м/с до 110 м/с?

8-12. Какая часть молекул азота при 150 ºС обладает скоростями от

300 м/с до 325 м/с?

8-13. Вода в пруду имеет температуру t1 = 0 ºС. Температура окружающего воздуха t2 = –10 ºС. Какой слой льда образуется за сутки, считая с момента замерзания воды. Коэффициент теплопроводности льда К = = 1,76·10–4 Вт/мК, скрытая теплота замерзания воды = 333 кДж·кг–1, плотность льда = 0,9·103 кг/м3.

8-14. Определить плотность разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега молекул равна 1 см.

8-15. Найти среднее число столкновений. Испытываемых в течение 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.

8-16. Найти число всех соударений, которые происходят в течение 1 с между всеми молекулами водорода, занимающего при нормальных условиях объем V= 1 мм 3.

8-17. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см? Температура газа 68 ºС.

8-18. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при температуре Т = 250 ºК и давлении р = 100 Па.

8-19. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой т = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.

8-20. Коэффициент диффузии кислорода при температуре t = 0 ºС равен 0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода.

8-21. Вычислить коэффициент диффузии азота: 1) при нормальных условиях; 2) при давлении 100 Па и температуре 300 ºК.

8-22. Найти динамическую вязкость гелия при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D при тех же условиях равен 1,06 ·10–4 м2/с.

8-23. Какая часть молекул водорода при 0 ºС обладает скоростями от

2000 м/с до 2100 м/с.

8-24. Какая часть молекул азота при температуре 150 ºС обладает скоростями, лежащимив интервале от v1 = 300 м/с до v2 = 800 м/с.

8-25. Вычислить коэффициент теплопроводности гелия при нормальных условиях.

8-26. Кислород находится при температуре 300 ºК под давлением р = 1·105 Па. Определить: 1) среднюю длину свободного пробега молекул; 2) среднее время свободного пробега молекул.

8-27. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода равны

соответственно	D 1,22 10	5 м2		и 1,95 10	5	кг	.	Найти при этих усло-

см с

виях:

1) плотность кислорода; 2) среднюю длину свободного пробега его молекул; 3) среднюю арифметическую скорость его молекул.

8-28. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4·1022 молекул двухатомВт

ного газа. Коэффициент теплопроводности газа равен К = 0,014		. Найти

м K

коэффициент диффузии газа при этих условиях.

8-29. Средняя длина свободного пробега l молекулы углекислого газа

при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость v молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в

одну секунду.

8-30. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывеси формулу наиболее вероятной скорости vв .

9.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные формулы

1.Связь между молярной (Ст) и удельной (с) теплоемкостями газа

Cm c ,

где – молярная масса газа.

2.Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

CV iR/2, Cp i 2 R /2,

где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная.

3.Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:

, c

i 2

4. Уравнение Р.Майера

Cp CV

5. Показатель адиабаты

c ,

или

γ C

C ,

или

i 2

6. Внутренняя энергия идеального газа

U N , или U ν CVT ,

где – средняя кинетическая энергия молекулы; N – число молекул газа; –

количество вещества.

U i m R T2 T1 – изменение внутренней энергии. 2

7. Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле

A pdV,

где V1 – начальный объем газа; V2 – его конечный объем. Работа газа при изобарическом процессе (р = const)

A p V2 V1 R(T2 T1),

при изотермическом процессе (Т = const)

A m/ RT ln V2 /V1 ,

при адиабатическом процессе

	m						RT		m		V		1
	m		T T		, или		RT	1	m		V
A		C		2		A		1		1		1		,
A		C				A				1				,
		V	1				1
							1				V2

где Т1 – начальная температура газа; Т2 – его конечная температура.

8. Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатическом процессе)

pV const .

9. Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатическом процессе:

p	V		T		2	V		1		T	2	p	1 /
2		1	;				1		;			2		,
p				T						T		p
	V	2			1	V	2				1
1												1

10. Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

Q U A ,

где Q – количество теплоты, сообщенное газу; U – изменение его внутренней энергии; A – работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики при изобарическом процессе

Q U A	m	C T	m	R T	m	C		T ;

	V						p

при изохорическом процессе (А = 0)

Q U m/ CV T ;

при адиабатическом процессе (Q = 0)

AU m/ CV T .

11.Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем

случае

Q1 Q2 /Q1 ,

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2 – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

Q1 Q2 /Q1;

или T1 T2 /T1,

где Т1 – температура нагревателя; Т2 – температура охладителя. 84

12. Изменение энтропии

S dQT ,

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

13. Формула Больцмана

S k lnW ,

где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность ее состояния; k – постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Задача 1. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массы т = 1 кг. Для повышения температуры кислорода на Т= 10 ºК ему было сообщено количество теплоты Q = 9,1 кДж. Найти удельную теплоемкость кислорода, работу, совершаемую им при расширении, и увеличение его внутренней энергии.

Д а н о:

Р е ш е н и е

m = 1 кг

Так как поршень в любой момент находится в

= 32 ·10–3 кг/моль

равновесии, то во время нагревания кислорода его

Q = 9,1·103 Дж

давление р остается также постоянным. Тогда

Т = 10 0К

удельная теплоемкость при постоянном давлении

cр = ?

910

Дж

m T

А = ?

кг К

U = ?

Работа расширения при постоянном давлении

A p V2 V1 ,

где V1 и V2 – начальный и конечный объем газа.

Уравнение состояния газа до и после нагревания

Вычитая из этого уравнения первое, найдем

p V

T , следовательно,

A m R T 2,6 кДж.

Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии U и на совершение работы А:

Q U A ,

отсюда

U Q A 6,5 кДж.

Задача 2. В цилиндре с площадью основания 100 см2 находится воздух при температуре 17 ºС. На высоте 50 см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на котором лежит гиря весом 50 кГ. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на 50 ºС? Атмосферное давление 760 мм рт.ст.

Д а н о:		Р е ш е н и е
S = 100 см2 = 0,01 м2		В процессе нагревания газ расширяется и со-
S = 100 см2 = 0,01 м2		В процессе нагревания газ расширяется и со-
Т1 = 290 ºК		вершает работу по преодолению веса груза и силы
h = 0,5 м		атмосферного давления, действующих на поршень.
Р0 = 150 кГ = 1470 Н		Так как эти силы постоянны, то при достаточно
РА = 760 мм рт.ст. =		медленном нагревании газ будет расширятся изоба-
= 1·105 Па		рически и его работу можно вычислить
Т = 50 ºК		A p V2 V1 .
А = ?		A p V2 V1 .
А = ?

При равновесии поршня давление р уравновешивается атмосферным давлением рА и давлением, создаваемым гирей весом Р0:

p pA

По закону Гей-Люссака

или

следовательно,

hS T

A pA

2,1 102 Дж.

Задача 3. В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого изменяется следующим образом: в процессе 1–2 увеличивается давление при постоянном объеме V; в процессе 2–3 увеличивается объем при постоянном давлении P1; в процессе 3–4 увеличивается объем при постоянной температуре T3; в процессе 4–1 газ возвращается в первоначальное состояние при постоянном давлении Р2. Представить на графиках изменение состояния газа в координатах р, V; р, Т; V, Т. Показать, при каких процессах газ получает (отдает) теплоту. Как при этом изменяется температура и какая совершается работа?

Р е ш е н и е

На графике изменения состояния газа в координатах р, V участок 1–2 – изохорный процесс: температура увеличивается, происходит поглощение теплоты, работы газ не совершает. Участок 2–3 – изобарное расширение. Температура увеличивается (изотерма, на которой лежит точка 3, соответствует большей температуре, чем изотерма, на которой лежит точка 2), происходит поглощение теплоты, газ совершает работу. Участок 3–4 – изотермическое расширение: температура остается постоянной, происходит поглощение теплоты, газ совершает работу. Участок 4–1 – изобарическое сжатие: температура уменьшается (изотерма, на которой лежит точка 4 соответствует большей температуре, чем изотерма, на которой лежит точка 1, происходит выделение теплоты, работа – отрицательная.

Задача 4. Азот, занимавший при давлении р1 2 105 Па объем V1 = 5 л,

расширяют до объема 8 л, при этом давление падает до значения р2 = 105 Па. Процесс происходит сначала по изотерме, затем – по изохоре. Определить работу сил давления газа, изменение внутренней энергии и количество поглощенной теплоты при этом переходе.

Д а н о:

Р е ш е н и е

= 2·105 Па

= 5

л = 5·10–3м3

= 8

л = 8·10–3 м3

= 28·10–3 кг/моль

р2

= 105 Па

i = 5

Q12 = ? U12 = ?

А12 = ?

При переходе из состояния 1 в состояние 2 надо рассмотреть каждый из указанных процессов отдельно, тогда

A12 A1a Aa2;

Q12 Q1a Qa2.

(1)

Изменение внутренней энергии не зависит от процесса ив любом случае

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методичка

#
17.03.20154.71 Mб81gl1f.pdf
#
17.03.20154.11 Mб93gl2.pdf
#
17.03.20154.08 Mб58gl3.pdf
#
17.03.20153.25 Mб100gl4.pdf
#
17.03.2015959.38 Кб71gl5.pdf
#
17.03.2015229.62 Кб43Prilozh.pdf