Физика / Методичка / gl4

IV. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

7.ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ.

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

Основные формулы

1. Количество вещества

ν m , или ν N ,

NA

где N – число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т. д.); NA – постоянная Авогадро; – молекулярная масса.

2. Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Менделеева– Клапейрона)

pV m RT ,

где т – масса газа; – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура.

3. Закон Дальтона

p p1 p2 ... pn,

где р – давление смеси газов; рi – парциальное давление i-го компонента смеси;

п – число компонентов смеси. 4. Молярная масса смеси газов

cм m1 m2 ... mn . ν1 ν2 ... νn

5. Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы

n NV NA .

где V – объем системы; – плотность вещества.

6. В МКТ пользуются физической (идеализированной) моделью, называемой идеальным газом, согласно которой:

а) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда.

б) пренебрегают силами взаимодействия между молекулами. Следовательно, потенциальная энергия взаимодействия молекул принимается равной нулю, а внутренняя энергия идеально газа – равной средней кинетической энергии молекул.

в) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

68

Заметим, что понятие идеального газа не применимо при очень низких температурах (близких к температуре конденсации данного газа) и при очень высоких давлениях.

Макропараметры газа р, V, T.

Основное уравнение МКТ идеального газа – уравнение, которое связывает макропараметры идеального газа с микропараметрами:

69

Задача 5. На осях р-V изображены графически процессы, с помощью которых идеальный газ был переведен из состояния 1 в состояние 4. Начертить, как будут выглядеть эти же процессы 1-2, 2-3 и

3-4 на осях р-Т и V-Т, если 1-2 – изотерма. Расшифруем, графики каких процессов пока-

заны на осях:

1-2 – изотермическое сжатие;

2-3 – изобарическое сжатие;

3-4 – изохорический процесс с понижением давления.

Вычертим графики этих же процессов на других осях.

72

Задачи

7-1. В баллоне объемом 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того как в баллон было дополнительно введено некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до р2 = 0,25 МПа, а температура не изменилась. Определить массу гелия, введенного в баллон.

7-2. Смесь водорода и азота общей массой т = 290 г при температуре Т = 600 ºК и давлении р = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Определить массу т1 водорода и массу т2 азота.

7-3. Оболочка воздушного шара имеет объем V = 1 600 м3. Найти подъемную силу FП водорода, наполняющего оболочку, на высоте, где давление р = 60 кПа и температура Т = 280 ºК. При подъеме шара водород может выходить через отверстиев нижней части.

7-4. Водород находится при температуре Т = 300 ºК. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех молекул этого газа; количество вещества водорода = 0,5 моль.

7-5. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 ºК. После того как из баллона было взято 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 ºК. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

7-6. Баллон содержит т1 = 80 г кислорода и т2 = 320 г аргона. Давление смеси р = 1 МПа, температура 300 ºК. Принимая данные газа за идеальные, определить объем баллона.

7-7. Какой объем занимает смесь азота массой т1 = 1 кг и гелия массой т2 = 1 кг при нормальных условиях?

7-8. В баллоне емкостью 15 л находится смесь, содержащая т1 = 10 г водорода, т2 = 54 г водяного пара и т3 = 60 г окиси углерода. Температура смеси 27 ºС. Определить давление.

7-9. Количество вещества гелия = 1,5 моль, температура Т = 120 ºК. Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул этого газа.

7-10. Теплоизолированный сосуд объемом V = 2 м3 разделен пористой перегородкой на две равные части. Атомы гелия могут свободно проникать через поры в перегородке, а атомы аргона – нет. В начальный момент в одной части сосуда находится m = 1 кг гелия, а в другой – m = 1 кг аргона, а средняя квадратичная скорость атомов аргона игелия одинакова и составляет1000 м/с.

Определить температуру гелий-аргоновой смеси после установления равновесия в системе.

7-11. Найти плотность газовой смеси водорода и кислорода, если их массовые доли 1 и 2 равны соответственно 1/9 и 8/9. Давление смеси равно 100 кПа, температура Т = 300 ºК.

7-12. В сосуде объемом 2,24 л при нормальных условиях находится кислород. Определить количество вещества и массу т кислорода, а также концентрацию п0 его молекул в сосуде.

73

7-13. В сосуде находится смесь 10 г углекислого газа (СО2) и 15 г азота (N2). Найти плотность этой смеси при температуре 27 0С и давлении 1,5·105 Па.

7-14. Сосуд объемом 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20 ºС и давлении 2 атм. Масса смеси т = 5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

7-15. В баллон емкостью V = 12 л поместили т1 = 1,5 кг азота при температуре t1 = 327 ºС. Какое давление р2 будет создавать азот в баллоне при температуре t2 = 50 ºС, если 35 % азота будет выпущено. Каково было начальное дав-

ление р1?

7-16. На дне сосуда, заполненного воздухом, лежит полыйстальной шарик радиусом r = 2 см. Масса шарика 5 г. До какого давления р надо сжать воздух в сосуде, чтобы шарик поднялся вверх? Считать, что воздух при больших давлениях подчиняется уравнению газового состояния. Температура воздуха t = 20 ºС = = const (сжатие воздуха происходитдостаточно медленно).

7-17. На какой глубине радиус пузырька воздуха вдвое меньше, чем у поверхности воды, если давление у поверхности равно р0?

7-18. Определить температуру газа, находящегося в закрытом баллоне, если его давление увеличилось на 0,4 % первоначально при нагревании на

T = 1 К.

7-19. Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен неоном и погружен в озеро на глубину h = 120 м. Найти массу неона, если шар находится в положении равновесия. Атмосферное давление р0 = 1,03·105 Па, температура на глубине озера t = + 4 ºС. Натяжением резины пренебречь.

7-20. В закрытом сосуде емкостью V = 2 м3 находится т1 = 2,7 кг воды и т2 = 3,2 кг кислорода. Найти давление в сосуде при температуре t = 527 ºС, зная, что в этих условиях вся вода превращается в пар (считать, что пар в данном случае подчиняется законам идеального газа).

7-21. В теплоизолированный сосуд объемом V = 2 л, содержащий одноатомный идеальный газ при температуре Т1 = 300 К, помещают кусочек железа массой m = 100 г, нагретый до температуры Т2 = 500 К. Определить давление р2 газа после установления теплового равновесия, если его начальное давление равно р1 = 105 Па. Объемом железа по сравнению с объемом сосуда пренебречь. Удельная теплоемкость железа с = 0,46 · 103 Дж/кг·К.

7-22. В идеальном газе происходят процессы 1-2; 2-3; 3-4. Изобразить эти процессы на координатных осях р–T, р–V.

7-23. В лифте, движущимся с ускорением а = 5 м/с2, направленным вверх, находится цилиндрический сосуд, закрытый поршнем массой М = 20 кг и площадью S = 100 см2. Под поршнем находится идеальный газ. Поршень расположен на расстоянии h = 22 см от дна сосуда. Определите, на

74

какую величину h переместится поршень, если лифт будет перемещаться с тем же по модулю ускорением, направленным вниз. Температура газа не изменяется, атмосферное давление p0 = 105 Па. Ускорение свободного падения поршня g = 10 м/с2. Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.

7-24. В цилиндре под невесомым поршнем площадью S = 100 см2 находится 1 моль идеального газа при температуре t1 = 100 ºС. К поршню через два блока на невесомой нерастяжимой нити подвешен груз массой М = 17 кг. На какую высоту h поднимется груз, если охладить газ до температуры t2 = 0 ºС. Атмосферное давление p0 = 105 Па. Трением пренебречь.

7-25. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде находится идеальный газ массой m с молярной массой . Газ отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном сосуда с пружиной жесткости k. При температуре T1 поршень расположен на расстоянии h от дна сосуда. До какой температуры T2 надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты H = 2h? Поршень считать невесомым. Атмосферное давление p0.

7-26. Два сосуда, содержащие одинаковые массы одного газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление р1 = 5·103 Па, во втором – р2 = 8·103 Па. Какое давление установится после открытия крана, если температура остается неизменной?

7-27. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

7-28. Какое число молекул двухатомного газа содержится в сосуде объемом 20 см3 при давлении р = 1,06·104 Па и температуре t = 27 ºС? Какой энергией теплового движения обладают эти молекулы?

7-29. Над газом совершен цикл 1-2-3-4-1. Начертите график этого цикла на осях координат V, T; p, T; p, .

7-30. Газ, занимающий при температуре Т1 = 100 ºК и давлении р1 = 0,2 МПа объем V1 = 1 л, изотермически сжимают до объема V2 и давления р2, затем изобарно охлаждают до температуры Т3 = 50 ºК, после чего изотермически изменяют объем до V4 = 0,5 л. Найти конечное давление р4. Построить графики этих процессов в координатах р, V; р, Т.

75

8.ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n n0e UkT ,

где п – концентрация частиц; U – их потенциальная энергия; п0 – концентрация частиц в точках поля, где U = O; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; е – основание натуральных логарифмов.

2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

где р – давление газа; т – масса частицы; – молярная масса; h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 – давление на этом уровне; g – ускорение свободного падения; R – универсальная газовая постоянная.

3. Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

dW x f x dx,

где f(х) – функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

dN NdW x N f x dx.

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от vдо v + dv,

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N – общее число молекул; т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

где u v/vв – относительная скорость, равная отношению скорости v к наи-

вероятнейшей скорости vв; f(и) – функция распределения по относительным скоростям.

6. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

z2 d2nv,

где d – эффективный диаметр молекулы; п – концентрация молекул; v –

средняя арифметическая скорость молекул.

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

dp dv/dz S dt,

где – динамическая вязкость газа; dv/dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев; S – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.

9. Динамическая вязкость

13 vl,

где – плотность газа (жидкости); v – средняя скорость хаотического дви-

жения его молекул; l – их средняя длина свободного пробега. 10. Закон Ньютона

F dp/dt dv/dz S,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 11. Закон Фурье

Q K dT /dx S t,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S – за время t; К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

12. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

где сV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; – плотность газа; v – средняя арифметическая скорость его молекулы; l – средняя длина свободного пробега молекул.

77