II.ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
4.ОСНОВЫ ДИНАМИКИ.ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ,ДВИЖУЩЕЙСЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
Основные формулы
1. Динамика – раздел механики, изучающий механическое движение тел с выяснением причин этого движения.
Сила F – причина изменения состояния движения тела. Сила есть количественная характеристика (мера) взаимодействия.
Все силы в природе разделяются на фундаментальные и нефундаментальные. К фундаментальным силам относятся: силы гравитационного взаимодействия; силы электрического взаимодействия; ядерные силы, т. е. силы, с которыми взаимодействуют нуклоны (протоны и нейтроны), входящие в состав атомного ядра; и силы, возникающие при радиоактивном -распаде (так называемое слабое взаимодействие).
К нефундаментальным силам относятся силы упругости (сила реакции опоры и сила натяжения нити тоже являются силами упругости), силы трения, сила Архимеда и др.
В основединамикиматериальнойточкилежат тризакона Ньютона. Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, в кото-
рых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Второй закон Ньютона. Ускорение, приобретаемое телом под действием сил F1, F2,..., Fn, прямо пропорционально геометрической сумме этих сил и обратно пропорционально массе тела:
|
F1 F2 ... Fn |
|
|
n |
|
a |
или |
dp |
Fi, |
(2.1) |
|
|
dt |
||||
|
m |
i 1 |
|
||
n
где Fi – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;
i 1
m – масса; a – ускорение; p mv – импульс; n – число сил, действующих на
точку.
Третий закон Ньютона. Действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие, иными словами, силы, с которыми два тела взаимодействуют друг с другом, равны по величине и противоположны по направлению:
F12 F21. |
(2.2) |
2. Деформацией называется изменение расстояния между точками тела, приводящие к возникновению сил, стремящихся вернуть эти точки в первоначальное положение.
29
Для упругих деформаций справедлив закон Гука: |
|
Fупр kx, |
(2.3) |
где х – абсолютная деформация (смещение); k – коэффициент жесткости (упругость) деформированного тела.
Примеры сил упругости
А. Нормальная реакция опоры N. Точка приложения силы не пересекает границу раздела; сила направлена перпендикулярно границе раздела.
Б. Сила натяжения нити T. Точка приложения силы пересекает границу раздела; сила направлена вдоль нити.
В. Вес тела P – сила упругости, с которой тело действует на горизонтальную подставку или растягивает нить. Вес тела к самому телу не приложен
(к телу приложена либо сила N, либо сила T ), а приложен к подставке или к нити. Согласно третьему закону Ньютона
P N; P T.
Следует понимать глубокое различие между весом тела и силой тяжести: 1) сила тяжести mg действует на само тело, а вес – на опору или подвес; 2) по величине они могут быть не равны друг другу.
Г. Сила трения (Fтр ) твердых тел. Различают силу трения покоя, си-
лу трения скольжения и силу трения качения.
Сила трения покоя всегда равна приложенной силе, стремящейся вывести тело из состояния покоя. Если приложенная сила превышает некоторое значение N, то тела скользят относительно друг друга. Опыт показывает, что сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, а зависит только от их химического состава и степени шлифовки. – коэффициент трения, безразмерная величина как раз и характеризует род трущихся поверхностей и степень их шлифовки.
Итак,
N
4
0 Fтр.покоя N,
Fтр.скольж N. |
(2.4) |
На участке I графика имеем силу трения покоя.
На участке II – силу трения скольжения.
3.Сила гравитационного взаимодействия. Любые две материальные точки массами m1 и m2 притягивают друг друга с силой
F G |
m1 m2 |
, |
(2.5) |
|
r2 |
||||
|
|
|
||
30 |
|
|
||
где r – расстояние между ними; G 6,67 10 11 Н м2/ кг2 – гравитационная постоянная.
Движение тела под действием одной только силы тяжести называют свободным падением, а ускорение g, приобретаемое при этом телом, назы-
вают ускорением свободно падающего тела.
Пренебрегая влиянием суточного вращения Земли, найдем
g G |
M |
, |
(2.6) |
|
(RЗ h)2 |
||||
|
|
|
где RЗ – радиус поверхности Земли; h – расстояние от центра тяжести тела до
поверхности Земли.
Ускорение свободно падающего тела не зависит от массы, размеров и других характеристик тела, поэтому все тела свободно падают в безвоздушном пространстве с одинаковыми ускорениями.
Вблизи поверхности Земли (h << RЗ) ускорение при свободном падении
g0 |
G |
M |
. |
(2.7) |
|
||||
|
|
RЗ2 |
|
|
Первая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу для превращения его в спутник планеты, движущийся по круговой орбите вокруг планеты.
Если спутник движется вблизи поверхности Земли, то
V1 gRЗ . |
(2.8) |
Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство необходимо сообщить телу скорость
V2 |
2gRЗ 11,2 км/с, |
(2.9) |
которая называется второй космической скоростью.
4.Импульсом тела называется произведение массы этого тела на его скорость:
p mV. |
(2.10) |
Импульсом силы называется произведение силы на время ее действия. Для промежутка времениt второйзакон Ньютона можно записать в виде
|
|
или F t p. |
|
F t mV2 |
mV1, |
(2.11) |
31
Д а н о:
m1 = 0,4 кг m2 = 0,6 кг
= 0,1 а = 5,0 м/с2
Т = ?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Система грузов массами m1 = 0,4 кг и m2 = 0,6 кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением а = 5,0 м/с2. Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы m1 и опорой
= 0,1.
Р е ш е н и е
Fтр N. T N m1a1;
m2g T m2 (a1 a); |
N m1g m1a, |
где а1 – ускорение грузов относительно стола.
N m1g m1a.
m1a1 T (m1g m1a),
T
a1 m1 (a g).
|
|
|
T |
|
|
m |
g T m |
|
(a g) a , |
||
2 m |
|||||
2 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
откуда
T m1m2 (1 )(a g) 3,91Н. m1 m2
Задача 2. С каким ускорением a должна двигаться тележка, чтобы положение грузов m1 и m2 оставалось неизменным? Коэффициент трения между грузами и тележкой равен .
Д а н о: Р е ш е н и е
m1, m2, |
Fтр N1, |
Fтр |
N |
2. |
a = ? |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Запишем уравнение движения грузов m1 и m2 в проекциях на оси коор-
динат:
T Fтр |
m1a, |
N2 m2a, |
1 |
|
|
|
32 |
|
m2 g T Fтр2 0,
N1 m1g.
Следовательно,
m2g m1g m2a m1a,
откуда
a m2 g m1g .
m2 m1
Задача 3. Определить ускорения а1 и а2, с которым движутся грузы m1 и m2 в установке, изображенной на рисунке, а также силу натяжения нитей. Трением имассой блоков пренебречь. Нить считать невесомой и нерастяжимой.
Д а н о:
m1 m2
а1 = ? а2 = ? FН = ?
Р е ш е н и е
Поскольку все силы направлены по вертикали, запишем уравнения движения, выражающие второй закон Ньютона, применительно к грузам сразу в скалярной форме, выбрав направление оси ОУ вертикально вниз:
m1g FH m1a1,m2g 2FH m2a2.
При сложении этих уравнений полу-
чим
2m1g m2g 2m1a1 m2a2 .
Если груз m1 опустится на высоту h, то груз m2 поднимется на высоту h/2, следовательно,
|
|
at2 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
|
|
|
a1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
2, т.е. a 2a . |
|||
|
|
|
|
|
|||||
h |
|
a t |
2 |
|
a |
1 |
2 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив (2) в уравнение (1), получим
a |
2 2m1 m2 g |
; a |
2m1 m2 g |
. |
||
|
|
|||||
1 |
4m m |
2 |
2 |
4m m |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
Отсюда следует:
а) если 2m1 m2, то а1 0, а2 0, т. е. ускорения грузов направлены так, как мы предполагали;
33
б) если2m1 = m2,тоа1 = а2 = 0– грузы покоятсяилидвижутсяравномерно; в) если 2m1 m2, то а1 0, а2 0. В этом случае ускорение груза m1 на-
правлено вверх, ускорение груза m2 – вниз.
О т в е т: a |
2 2m1 m2 g |
; a |
2m1 m2 g |
. |
||
|
|
|||||
1 |
4m m |
2 |
2 |
4m m |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
Задача 4. Тело скользит равномерно по плоскости с углом наклона= 40º. Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Д а н о: |
Р е ш е н и е |
= 40º v = const
k = ?
На тело при его скольжении по наклонной плоскости действуют три си-
лы: сила тяжести P mg, N – сила реакции опоры и сила трения скольжения
Fтр . Записываем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме: mg N Fтр ma.
По условию задачи a 0,значит
mg N Fтр 0 . |
(1) |
Перейдем от векторной формы записи к скалярной. Для этого спроецируем силы на две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОY:
mg sin Fтр 0, |
(2) |
N mg cos 0. |
(3) |
Из уравнения (3) находим, что
N mg cos .
Учитывая, что Fтр kN kmg cos , запишем уравнение (2) в виде mg sin kmg cos 0,
отсюда
k tg или k tg40 0,84.
О т в е т: k 0,84.
34
Задача 5. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной плоскости. Масса этого бруска m1 = 3 кг, масса второго бруска 1 кг.
|
Коэффициент трения между бруском и плоско- |
|
|
|
стью k1 = 0,20 для бруска 1 и k2 = 0,15 для бруска 2. |
|
Угол наклона плоскости = 30º. Определить ускоре- |
|
ние а, с которым движутся бруски и силу F, с которой |
|
бруски давят друг на друга. |
Д а н о: |
Р е ш е н и е |
= 30º
m1 = 3 кг m2 = 1 кг k1 = 0,20 k2 = 0,15
F = ? а = ?
F1, F2 – составляющие силы тяжести m1g; F3, F4 – составляющие силы тяжести m2 g . Составим уравнение движения бруска 1:
m1g F Fтр1 N1 m1a
и спроецируем его на направление вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:
m1g sin Fтр1 F m1a, |
(1) |
N1 m1g cos 0. |
(2) |
Проецируя векторное уравнение второго закона Ньютона для второго грузика на оси ОХ и ОY, получаем:
|
m2g sin F Fтр2 |
m2a, |
|
(3) |
||
|
|
N2 m2g cos 0. |
|
(4) |
||
Из (2) и (4) находим, что N1 m1g cos |
и N2 m2g cos . Учитывая, |
|||||
что Fтр1 k1N1 k1m1g cos |
и Fтр2 k2N2 |
k2m2g cos , |
запишем урав- |
|||
нения (1) и (3) в виде: |
|
|
|
|
|
|
m g sin k m g cos F m a , |
(5) |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
m2g sin k2m2g cos F m2a, |
|
|||||
|
|
|
35 |
|
|
|
откуда
a |
g sin m1 m2 cos k1m1 k2m2 |
3,3 м/с2. |
(6) |
|
|||
|
m1 m2 |
|
|
Подставляя значение ускорения из выражения (6) в (1), найдем силу F, с которой бруски давят друг на друга:
F m1a k1m1g cos m1g sin 0,29 Н.
Примечание. Если бы по условию задачи k2 k1, то первый брусок скользил бы с
большим ускорением, чем первый. В результате зазор между брусками увеличивался бы со временем.
Задача 6. На гладком столе помещен брусок массой M = 1 кг, на котором лежит коробок массой m = 50 г. Брусок прикреплен к одному из концов невесомой пружины, другой конец которой заделан в неподвижную стенку.
Брусок отводят от положения равновесия перпендикулярно стенке на расстояние l и отпускают без начальной скорости. При каком значении l коробок начнет скользить по бруску?
Коэффициент трения коробка о брусок = 0,2, жесткость пружины k = 500 Н/м. Трением бруска о стол пренебречь.
Дано: Решение
M = 1 кг m = 50 г = = 0,05 кг= 0,2
k = 500 Н/м
l = ?
N1
По второму закону Ньютона
F |
|
F Ma |
|
, |
F ma . |
a |
|
|
k l mg |
, |
a |
mg |
g. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
упр |
тр |
2 |
|
тр |
1 |
|
2 |
|
|
M |
1 |
|
m |
||||
|
|
|
k l mg |
g, |
откуда l |
M g mg |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||
|
Ответ: коробок начнет скользить при |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
l |
g(M m) |
4,2 10 3 |
м = 4,2 мм. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходящей через его центр вертикальной оси со скоростью n = 30 об/мин. На каком расстоянии r от центра диска может удерживаться лежащее на диске небольшое тело, если коэффициент трения k = 0,20.
Д а н о: |
Р е ш е н и е |
n = 30 об/мин = 0,5 об/с k = 0,20
r = ?
На тело массой m действуют сила тяжести mg, сила трения Fтр и сила
нормальной реакции N . Второй закон Ньютона для тела массой m имеет вид
mg N Fтр ma. |
(1) |
Вводя оси координат, как показано на рисунке, и заменяя векторное |
|
уравнение (1) скалярным, |
|
N mg 0, |
(2) |
Fтр ma, |
(3) |
где a ax an 2 r; |
ay 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Следует учесть, что Fтр kN. Исключая N, находим |
||||||||
откуда |
|
|
|
kmg m 2r, |
|
|
||
|
kg |
|
kg |
|
kg |
|
|
|
|
r |
|
|
0,20 |
м. |
|||
|
2 |
2 n 2 |
4 2n2 |
|||||
Следовательно, тело может удерживаться на диске при r 0,20 м.
Задача 8. Шарик массой 0,3 кг, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 30º. Скорость шарика в этот момент 2 м/с.
Д а н о:
m = 0,3 кг l = 1 м
v = 2 м/с= 30º
FH = ?
Р е ш е н и е |
|
|
На шарик действуют: |
FH – сила натяжения, |
mg – сила |
тяжести. Запишем для |
шарика второй закон |
Ньютона |
в векторной форме |
|
|
FH mg ma. |
(1) |
|
37 |
|
|
Направляя ось OY вдоль радиуса и проецируя на нее обе части уравнения, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FH mg cos may. |
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что ay |
an |
|
v |
2 |
, перепишем уравнение (2): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
v |
2 m |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
mg cos |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F m |
|
|
|
g cos |
3,7 Н. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 9. Наклонная плоскость движется вправо с ускорением ао. На |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости, образующей угол с горизонтом, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежит брусок массой m, прикрепленный к |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости нитью. Найти силу натяжения и си- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лу давления бруска на плоскость. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Д а н о: |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
||||||||||||||
m, ao, |
|
|
|
|
|
|
Выберем систему отсчета, связанную с наклонной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостью. Пока плоскость покоится, на тело действу- |
||||||||||||||||
FH = ? Fн.д. = ? |
|
|
ют силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
сила тяжести mg, |
сила натяжения FH , |
сила нормальной реакции опоры |
N, |
||||||||||||||||||||||
которые уравновешивают друг друга. Как только начинается ускоренное движение плоскости, то система координат ХОY станет неинерциальной, появит-
ся четвертая сила, действующая на тело, – сила инерции Fин mao.
Запишем второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета
Fин N mg FH ma. |
(1) |
Проецируя все векторы, входящиев уравнение(1), на осих иу, получаем
38