Задача 2. Тело брошено под углом = 30º к горизонту из положения с
координатой уо = 5 м над поверхностью Земли. Начальная скорость тела vо = 10 м/с. Определить координату уmax наивысшей точки подъема тела над поверхностью Земли и координату хп точки падения тела на поверхность Земли.
Д а н о: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
||||||
= 30º |
|
Сделаем рисунок. Направим оси ОХ и ОУ вдоль го- |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
уо = 5 м |
|
ризонтального и вертикального перемещений тела. |
|||||||||||||||
vо = 10 м/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уmax = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
хп = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейное равнопеременное движение тела можно рассматривать как сумму двух движений: вдоль оси ОХ тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью vox v0cos , вдоль оси ОY – прямолинейно равнопе-
ременно с начальной скоростью voy vosin и ускорением свободного паде-
ния g.
Скорость тела вдоль оси ОY в произвольный момент времени t от начала движения vy voy gt . В точке наивысшего подъема тела (точка В) vy 0,
т. е. voy gt , откуда время подъема тела
tn vo sin . g
Координату точки наивысшего подъема тела определим по формуле
|
|
|
|
|
gt2 |
|
|
|
|
v |
o |
sin |
|
|
|||
ymax yo voytn |
|
|
|
n |
|
, где tn |
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v |
2sin2 |
|
|
|
v |
2sin |
2 |
|
v2sin |
2 |
||||||
ymax yo |
|
o |
|
|
|
o |
|
|
|
yo |
o |
|
. |
||||
|
g |
|
|
|
2g |
|
2g |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив значения уо, vо, и g в последнее выражение, получим
ymax 6,3 м. Время движения тела до точки падения на поверхность
Земли найдем из условия у = 0, т. е. |
yo |
voyt |
gt |
2 |
0 . Подставив значения |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
voy vosin 5м/с и g = 10 м/с2, получим квадратное уравнение t2 – t – 1 = 0. Корни этого уравнения
t |
1 5 |
, t |
2 |
|
1 5 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Второй корень не имеет физического смысла. Следовательно, время |
|||||||||||||
движения тела до точки падения на поверхность Земли t |
1 |
|
1,6 с, а |
||||||||||
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
координата ее |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 14 (м). |
|
|
|
||||||
xn vocos t 10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т: уmax 6,3 м; хп 14 м.
Задача 3. Миномет установлен под углом = 60º к горизонту на крыше здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость vо = 50 м/с. Написать кинематические уравнение движения и уравнение траектории. Определить время τ полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность S полета, скорость v в момент падения мины на землю, нормальное, тангенциальное ускорения, а также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.
Д а н о:
h = 40 м vо = 50 м/с= 60º
τ = ? H = ? S = ?
v = ? ап = ? aτ = ? R = ?
х = f(t); у = f(х)
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|||||
Выберем систему координат с началом |
отсчета |
||||||||||
в точке 0 и запишем уравнения движения мины: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x v0 cos t |
(1) |
||||
|
|
|
y h v0sin t |
gt2 |
. |
(2) |
|||||
|
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключив из уравнений (1) и (2) время, получим уравнение траектории:
22
y h x tg |
gx2 |
|
. |
2v20cos |
|
||
|
2 |
||
Скорость движения мины по оси ОУ изменяются по закону
vy v0sin gt .
В точке В (вершина параболы) t t1 , у = Н, vу = 0. Тогда уравнение (3) примет вид
|
|
|
|
O voу |
gt1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда время подъема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
vo sin α |
. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя уравнение (2) для точки В, находим |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin t |
|
gt2 |
|
|
|
v |
sin2 |
|
|
|
||||||
H h v |
|
|
1 |
|
h |
0 |
|
|
136 |
м. |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2g |
||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Запишем уравнение (1) и (2) для точки С падения мины на землю (t , |
||||||||||||||||||
у = 0, х = S): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
h v o sin |
|
τ |
|
|
gτ |
, |
(5) |
|||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
S vo cos |
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из уравнения (5) находим время движения мины до точки С: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
voy |
|
|
v2oy 2gh |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
g
vosin 
v2osin2 g h 9,3 с g
(отрицательный корень отбрасываем).
Расстояние (по горизонтали) от места бросания
|
|
|
S vocos 232 м. |
||
Скорость в момент падения |
|||||
|
|
|
|
|
= 54 м/с. |
vc |
v2x v2y = |
|
vocosα 2 vosinα gτ 2 |
||
В верхней точке траектории (точка В)
vy = 0; vB = vx = voх; aτ = 0; an = a = g.
23
Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в точке В:
|
R |
v2B |
|
|
v2ocos2α |
64 м. |
||||||||||||
an |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|||
В точке С нормальное ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
ox |
2 |
|||
an |
|
c |
g sinβ g |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4,5 м/с , |
|||||||||||
R |
vc |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
радиус кривизны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
v2c |
648 м, |
|
||||||||||
а тангенциальное ускорение |
|
an |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
g2 a2 |
= 8,7 м/с2. |
||||||||||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 4. Якорь электромотора, вращающийся со скоростью = 50 об/с, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1500 оборотов. Найти угловое ускорениеипродолжительность торможения.
Д а н о:
N = 1 500 ν = 50 об/с ω = 0
t = ? ε = ?
Но
то
Р е ш е н и е
Угловое ускорение якоря электромотора связано с начальной ωо и конечной ω угловыми скоростями соотношением
|
|
|
|
|
2 02 |
2 , |
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
o |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
2 N, o 2 ν, |
|
||||||
|
4 2ν |
2 |
|
|
ν 2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
5,2 рад/с . |
|||
|
|
|
||||||
|
2 2 N |
N |
|
|||||
Знак минус указывает на то, что якорь вращался равнозамедленно. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени
0 t ,
отсюда
t 0 2 ν 60,4 с.
24
Задача 5. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,5 см/с2. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости v угол , равный 30º? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка?
Д а н о: |
|
|
Р е ш е н и е |
||||||||||||||||||||
v0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аτ = 0,5 см/с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 20 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 30º |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Угол между векторами a и |
v |
зависит от соотношения между нор- |
|||||||||||||||||||||
мальным ап и тангенциальным аτ ускорениями: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
a |
n |
|
v |
2 |
(1) |
|||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
R a |
|||||||||||||||||||
Тангенциальное ускорение
dv
a dt const ,
следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при v0 = 0)
|
|
|
|
|
|
v a t . |
|
|
|
(2) |
||||||
Подставляя (2) в формулу (1), находим |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 t2 |
|
|
a |
|
t2 |
|
||||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
тогда время |
|
R a |
|
|
|
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
R tg |
4,8 с, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а путь |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
a t2 |
|
||||
S |
|
v dt |
|
a t dt |
5,8 см. |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
00
От в е т: t = 4,8 с; S = 5,8 см.
25
Задачи
3-1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки. Определить начальную vо и конечную v скорости камня.
3-2. Тело брошено со скоростью vо под углом α к горизонту. Найти величины vо и α, если известно, что наибольшая высота подъема тела Н = 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории R = 3 м.
3-3. Тело брошено со скоростью vо = 14,7 м/с под углом α = 30º к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через t = 1,25 с после начала движения.
3-4. Тело брошено со скоростью vо = 20 м/с под углом α = 30º к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость тела, а также его нормальное и тангенциальное ускорения через t = 1,5 с после начала движения. На какое расстояние l переместится тело по горизонтали и на какой окажется высоте?
3-5. Частица движется в плоскости xy со скоростью v i x j, где
i и j – орты осей x и y; и – постоянные. В начальный момент частица
находилась в точке x = y = 0. Найти:
а) уравнение траектории частицы y(x);
б) радиус кривизны траектории в зависимости от x.
3-6. Камень брошен горизонтально со скоростью v = 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через 2 с после начала движения.
3-7. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30º к горизонту, дважды побывал на одной и той же высоте h: спустя t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость vо и высоту h.
3-8. Пуля пущена с начальной скоростью vо = 200 м/с под углом α = 60º к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3-9. С самолета, летящего горизонтально со скоростью v0 = 720 км/ч на высоте Н = 2 км, сброшен груз. На какой высоте скорость груза направлена под углом = 30 к горизонту? Чему равен радиус кривизны траектории движения груза в этой точке? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3-10. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t = 3 с опустился на h = 1,5 м. Определить угловое ускорениеε цилиндра, еслиегорадиус r= 4 см.
3-11. Диск радиусом r = 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
3-12. Колесо вращается с частотой n = 5 с–1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t = 1 мин. Определить угловое ускорение ε и число N оборотов, которое сделало колесо за это время.
26
3-13. Точка движется по окружности со скоростью v = t, где = 0,50 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.
3-14. Маховик, вращающийся с постоянной частотой nо = 10 с–1, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6 с–1. Определить угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.
3-15. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полета S тела в 4 раза больше максимальной высоты Н траектории.
3-16. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом α = 60º к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t = 1,7 с, если vо = 25 м/с.
3-17. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью v0 = 54 км/ч и, двигаясь с постоянным тангенциальным ускорением, походит путь S = 600 м за время t = 30 с. Радиус закругления R = 1 км. Определить скорость и полное ускорение поезда в конце этого пути.
3-18. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на расстояниях R = 30 см от оси, за время = 20 с проходят путьS = 4 м. Сколько оборотов за это время сделает диск? Чему равен период обращения диска?
3-19. Камень, брошенный горизонтально с крыши дома со скоростью vо = 15 м/с, упал на землю под углом α = 60º к горизонту. Какова высота дома Н?
3-20. Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла по-
ворота радиуса колеса от времени дается уравнением A Bt Ct2 Dt3 ,
где D = 1рад/с3. Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциального ускорения аτ за каждую секунду движения.
3-21. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ. Найти тангенциальное ускорение аτ точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала v = 79,2 см/с.
3-22. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение ап точки будет: 1) равным тангенциальному; 2) вдвое больше тангенциального?
3-23. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?
3-24. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с через N = 10 об. после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
27
3-25. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону v 
S, где – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.
3-26. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60º с направлением линейной скорости этой точки.
3-27. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением х = Сt3, где С = 0,1 м/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна v = 0,3 м/с.
3-28. Тело на высоте Н = 2 м бросают в горизонтальном направлении так, что к поверхности земли оно подлетает под углом α = 45º к горизонту. Какое расстояние по горизонтали пролетает тело?
3-29. Тело брошено горизонтально со скоростью vо = 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения через время t = 1 с после начала движения тела.
3-30. Камень брошен под углом α = 30º к горизонту со скоростью vо = 10 м/с. Через какое время t камень будет на высоте h = 1 м? Чему равен радиус кривизны траектории в этой точке?
28