Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М. Ф. Решетнева
Т. А. СЛИНКИНА
Л. И. ЧЕРНЫШОВА
СЕМЕСТРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ, МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Направление подготовки: 220700 – Организация и управление наукоемкими производствами
Специальность: 220701.65 – Менеджмент высоких технологий
Форма обучения: очная
Красноярск 2007
УДК 53
ББК 22.3я729 С 47
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Е. В. БАБКИН; старший научный сотрудник Института физики имени Л. В. Киренского СО РАН В. Н. ВАСИЛЬЕВ
Слинкина, Т. А.
С 47 Семестровые задания по механике, молекулярной физике и термодинамике : учеб. пособие для студентов I курса / Т. А. Слинкина, Л. И. Чернышова; – 3-е изд., перераб. и доп. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 112 с.
Учебное пособие составлено в соответствии с программой по физике для высших технических учебных заведений и предназначены для студентов I курса в качестве семестровых заданий.
Представлено 300 задач по десяти основным разделам механики, молекулярной физики и термодинамики для решения на практических занятиях. По каждой теме сначала приводятся основные законы и формулы, необходимые для решения задач, поясняется смысл величин, входящих в формулы, подробно разбираются типовые задачи; затем приводятся задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
УДК 539.194 ББК 22.33я729
©Сибирский государственный аэрокосмический университет имениакадемика М. Ф. Решетнева, 2012
©Т. А. Слинкина, Л. И. Чернышова, 2007
2
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
I. Кинематика ................................................................................................. |
4 |
|
1. |
Кинематика прямолинейного движения материальной точки ................. |
4 |
|
Примеры решения задач ............................................................................ |
6 |
|
Задачи ...................................................................................................... |
11 |
2. |
Кинематика равнопеременного прямолинейного движения .................. |
15 |
|
Задачи ...................................................................................................... |
15 |
3. |
Кинематика криволинейного движения. Движение тела, брошенного |
|
|
под углом к горизонту. Кинематика вращательного движения ............. |
18 |
|
Примеры решения задач .......................................................................... |
19 |
|
Задачи ...................................................................................................... |
26 |
II. Динамика поступательного движения ................................................. |
29 |
|
4. |
Основы динамики. Закон всемирного тяготения. Динамика |
|
|
материальной точки, движущейся по окружности ................................. |
29 |
|
Примеры решения задач .......................................................................... |
32 |
|
Задачи ...................................................................................................... |
40 |
5.Закон сохранения импульса. Работа, энергия, мощность.
Закон сохранения механической энергии. Совместное применение
законов сохранения ................................................................................. |
43 |
Примеры решения задач .......................................................................... |
46 |
Задачи ...................................................................................................... |
51 |
III. Динамика вращательного движения твердого тела .......................... |
55 |
6. Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного |
|
движения. Закон сохранения момента импульса. Работа и энергия ...... |
55 |
Примеры решения задач .......................................................................... |
58 |
Задачи ...................................................................................................... |
64 |
IV. Молекулярная физика и термодинамика ........................................... |
68 |
7. Законы идеальных газов. Молекулярно-кинетическая |
|
теория газов ............................................................................................. |
68 |
Примеры решения задач .......................................................................... |
70 |
Задачи ...................................................................................................... |
73 |
8. Элементы статистической физики .......................................................... |
76 |
Примеры решения задач .......................................................................... |
78 |
Задачи ...................................................................................................... |
81 |
9. Физические основы термодинамики ....................................................... |
83 |
Примеры решения задач .......................................................................... |
85 |
9. Внутренняя энергия. Молярная и удельная теплоемкости |
|
газов. Первое начало термодинамики ................................................. |
91 |
Задачи .................................................................................................. |
91 |
10. Круговые процессы. Цикл Карно. Изменение энтропии .................... |
94 |
Примеры решения задач ...................................................................... |
94 |
Задачи .................................................................................................. |
99 |
Библиографический список ................................................................... |
103 |
Приложение ............................................................................................. |
104 |
3 |
|
I.КИНЕМАТИКА
1.КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Основные формулы
1. Положение материальной точки в пространстве описывается радиу-
сом-вектором
r x i y j zk,
где i , j и k – единичные векторы направлений; x, y, k – координаты
точки.
2. Абсолютное значение радиуса-вектора
r 
x2 y2 z2 .
3. Вектор перемещения r r2 r1 .
Путь S является скалярной величиной, равной длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за данный промежуток времени t .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Средняя скорость |
v |
|
r |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Средняя скорость |
vS |
|
S |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство vS v |
|
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняет- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся только при прямолинейном движе- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
нии точки без изменения направления |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
движения, так как в этом случае |
|
S |
(модуль перемещения равен прой- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
денному пути). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
6. Мгновенная скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v lim |
r |
|
dr |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v vx |
i vy j vz k , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
где vx |
dx |
; vy |
|
|
|
dy |
; |
vz |
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.Абсолютное значение скорости
v
v2x v2y v2z . 4
8. Мгновенное ускорение
a dv ax i ay j az k . dt
9. Абсолютное значение ускорения
a 
ax2 a2y az2 .
10. При равномерном прямолинейном движении а = 0, v const . Уравнение равномерного движения вдоль оси ОХ
x x0 v t ,
где х0 – начальная координата; t – время движения.
11. Путь, пройденный точкой при равномерном прямолинейном движении за промежуток времени t:
S = v · t (формула пути).
12. Мгновенная скорость приравнопеременном прямолинейном движении
v v0 at ,
где v0 – начальная скорость в момент начала отсчета времени (t = 0), a = const. 13. Среднее ускорение при переменном движении
a
v ,t
где v v2 v1 – изменение скорости материальной точки за промежуток
времени t t2 t1 .
14. Уравнение координаты равнопеременного прямолинейного движения вдоль оси ОХ:
x x0 |
v0t |
at2 |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
15. Путь, пройденный точкой за промежуток времени t при равнопеременном прямолинейном движении
S v0t at2 (формула пути). 2
16.При свободном падении тела скорость тела в произвольный момент времени v = gt, где g – ускорение свободного падения; g = 9,8 м/с2.
17.Путь, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени t
h gt2 . 2
5
18.Модуль скороститела послепрохождения в свободном падениипути h
v
2gh .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Материальная точка за промежуток времени Т совершает один полный оборот по окружности радиуса R. Определить среднюю скорость точ-
ки и среднюю путевую скорость за промежуток |
t = Т. |
|||
Д а н о: |
Р е ш е н и е |
|||
t = Т |
|
1. По определению средняя скорость |
||
|
||||
R |
|
v |
r |
|
vS ? |
|
, |
||
|
t |
|||
v = ? |
|
r 0 , |
v |
0 . |
|
|
|
|
|
2. Средняя путевая скорость 
vS 
2 R , т. е. отлична от нуля.
T
О т в е т: 
v
0, 
vS 
2 R .
T
Задача 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид
x A Bt Ct3 ,
где А = 4 м; В = 2 м/с; С = 0,5 м/с3. Для момента времени t = 2 с определить: 1) мгновенную скорость v1; 2) мгновенное ускорение а1.
Да н о:
xA Bt Ct3
В= 2 м/с
С = 0,5 м/с3; А = 4 м t = 2 с
v1 = ? a1 = ?
Ре ш е н и е
1.Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:
vdx B 3Ct2 2 1,5t2 .
dt
В момент времени t1 = 2 c мгновенная скорость
v1 = 2 + 1,5 ∙ 4 = 8 (м/с).
2. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:
6
a d2x dv 6Ct . dt dt
В момент t1 = 2 c мгновенное ускорение а1 = 6С · t1, или а = 6 м/с2.
О т в е т: v1 = 8 м/с, а1 = 6 м/с2.
Задача 3. Тело движется вдоль оси ОХ так, что зависимость координаты от
времени задана уравнением x 6 3t 2t2 . Найти среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от t1 = 1 с до t2 = 4 с. Построить графики зависимости перемещения, скорости и ускорения от времени. Чему равен путь, пройденный телом за4с?
Да н о:
x6 3t 2t2
t1 = 1 c t2 = 4 c
v
?
a
?
S = ?
Ре ш е н и е
1.По определению
vdx 3 4t , a dv 4 м/с2,
dt dt
т. е. ускорение – величина постоянная, значит, тело движется по прямой вдоль оси ОХ равноускоренно.
График ускорения представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс.
2.Скорость тела зависит от времени: v = –3 +
+4t. В начальный момент времени t = 0, v = v0 = = –3 м/c. Составив таблицу значений v при раз-
ных значениях t, построим график v(t).
t, |
c |
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
v, |
м/с |
–3 |
0 |
1 |
5 |
9 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
График скорости представляет собой прямую линию.
3. Модуль средней скорости за интервал времени t t2 t1 равен
v r x2 x1 , |
|
t |
t2 t1 |
7
где х2 = 6 – 3 ∙ 4 + 2 ∙ 16 = 26 (м); х1 = 6 – 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5 (м).
Таким образом,
v
x 21 7 (м/с).
t 3
4. Модуль среднего ускорения за интервал времени t t2 t1 равен
a
v2 v1 , t2 t1
где v2 3 4t 3 4 4 13(м/с); |
v1 3 4 1 1 (м/с); |
a
13 1 4 (м/с2), т. е. среднее ускорение равно мгновенному ускорению.
4 1
5. Далее построим график зависимости координаты точки от времени (график движения). Найдем характерные точки – координаты х0, х1, х2, соответствующие моментам времени t = 0, t1, t2. Приравняв нулю первую производную от координаты по времени, найдем координату точки, в которой скорость меняет знак (точка начинает двигаться обратно): v = –3 + 4t = 0, откуда
t |
3 |
с, x |
|
3 |
6 3 |
3 |
2 |
9 |
4 |
7 |
(м). |
|
t |
|
|
|
|||||||
4 |
|
4 |
4 16 |
8 |
|
||||||
Составив таблицу значений х в интервале от t = 0 до t = 4 с, построим график движения.
t, c |
0 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, м |
6 |
4 |
7 |
|
|
5 |
|
8 |
|
|
15 |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График |
зависимости |
координаты от |
времени |
|||||||
|
|
х = х(t) представляет собой кривую второго порядка. |
|||||||||||
|
|
Тело движется равноускоренно из положения с коор- |
|||||||||||
|
|
динатой х0 |
= 6 м в отрицательном направлении в |
||||||||||
|
|
положение с координатой x 4 |
7 |
, при этом скорость |
|||||||||
|
|
8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
его изменяется от v0 = –3 м/с до v = 0. |
|
||||||||||
|
|
|
В момент времени t = 3 |
4 |
с направление дви- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жения изменяется на обратное.
8
|
Путь, пройденный |
телом |
за |
|
промежуток |
|
времени t |
3 |
с, равен |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
(м). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
Путь, пройденный телом за промежуток времени t |
t |
, равен |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 3 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a( t)2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
, т. е. |
S2 |
4 |
|
|
21 |
|
(м) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
8 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Весь пройденный путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S S1 S2 |
1 |
1 |
|
21 |
1 |
22 |
1 |
(м). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
О т в е т: v 7 |
м |
, а а 4 |
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 4. Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 80 км/ч. На пути его возникает препятствие и с этого момента скорость автомобиля изме-
няется по закону v v0 Ct2 , где С = 2 м/с3. Через какое время после начала торможения автомобиль остановится и каков его тормозной путь?
Да н о:
v= 80 км/ч = 22,2 м/с
v= v0 – Ct2
C = 2 м/с3
v = 0
t = ? S = ?
Р е ш е н и е
Так как движение тела одномерно (вдоль оси х), то для нахождения закона его движения имеем одно дифференциальное уравнение dS v dt или
dS v0 Ct2 dt |
(1) |
После интегрирования уравнения (1) получаем закон движения
S v |
0t |
Ct |
3 |
. |
(2) |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
Время движения автомобиля определяется из условия равенства нулю его конечной скорости:
0 v0 Ct2 , отсюда |
t |
v0 |
3,3 с. |
|
|||
Тормозной путь S = 49 м. |
|
C |
|
|
|
|
|
О т в е т: t = 3,3 с; S = 49 м. |
|
|
|
9 |
|
|
|
Задача 5. Закон движения материальной точки имеет вид
r t A Ct2 i Bt Dt3 j,
где А = 4 м; С = –1 м/с2; В = 16 м/с; D = –1 м/с3.
Построить траекторию движения точки в первые 5 с.
Р е ш е н и е
По условию задачи компоненты радиуса-вектора
x A Ct2 |
4 t2, |
(1) |
y Bt Dt3 |
16t t3, |
(2) |
z 0, |
|
(3) |
следовательно, движение происходит в плоскости ХОY. Для построения траектории можно найти по заданным уравнениям значения х и у в отдельных, наиболее характерных случаях, а именно, найдем время и координаты х и у точек, в которых одна из координат обращается в ноль и принимает экстремальные значения.
Если х = 0, то 4 – t2 = 0 и корень последнего уравнения t1 = 2 с. Подставим t1 в выражение (2), тогда у(t1) = 24 м. Если у = 0, то 16t – t3 = 0. Корни последнего уравнения t0 = 0 (соответствует 
началу движений) и t2 = 4 с. Подставим t0 и
t2 в уравнение (1), тогда получим
x t0 4м и x t2 12м.
Координата у принимает экстремальное значение в точках, где
dy vy 0. dt
Дифференцируя выражение (2) и приравнивая производную нулю, получим: 16 3t2 0; t3 2,3 с. Тогда x t3 1,3 м и y t3 24,6 м. Координата х принимает экс-
тремальное значение в точках, где dx 0 . dt
Дифференцируя выражение (1) и приравнивая производную нулю, получим
dx 2t, t4 0 t0, x t4 4 м. dt
10