2. Параметрические и непараметрические модели оценки вероятностно-статистических характеристик объектов эксплуатации

2.1. Формирование параметрических моделей оценки случайных характеристик объектов

Параметрические методы статистики предполагают, что генеральное распределение случайной величины известно с точностью до конечного числа параметров. По результатам наблюдений эти методы позволяют оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять гипотезы относительно их значений.

Для начала формирования параметрической модели в первую очередь необходимо выдвинуть гипотезу о виде закона распределения, который может быть принят в качестве вероятностно-статистических моделей объектов эксплуатации ЛА.

Исходным материалом создания модели являются статистические данные, отражающие характер функционирования и особенности эксплуатации ЛА. Этот исходный материал представляет собой совокупность значений случайной величины: . Содержательные данные этой случайной величины зависят от объекта и целей исследования. Это могут быть, например, времена отказов изделий или агрегатов, время на проведение той или иной операции эксплуатации, значения параметра агрегата при контрольной проверке и т.п.

Первой операцией статистической обработки результатов является построение вариационного ряда – расположение совокупных, полученных в результате опыта, чисел в порядке возрастания. Затем статистические данные необходимо сгруппировать в интервалы. Приближенная оценка длины интервала может быть сделана по следующей зависимости:

, (2.1)

где: и- максимальный и минимальный члены вариационного ряда;n – общее число значений исследуемой случайной величины.

Используя сгруппированные данные, строят гистограмму плотностей распределения и гистограмму частостей.

Значение статистической плотности распределения в некотором i-ом интервале рассчитывается по формуле:

, (2.2)

где- число членов ряда, попавших в i-й интервал.

Частость, отражающая вероятность нахождения случайной величины Х в i-ом интервале, равна:

. (2.3)

По виду гистограммы, сравнивая ее графиками теоретических плотностей распределения, приведенными в табл. 2.1, делают предположение о виде закона распределения, который отражает полученные экспериментальные данные.

Следующим шагом является определение параметров выбранной в качестве модели функции распределения – математического ожидания m и дисперсии D (среднеквадратического отклонения ). Эти величины определяются методом моментов с использованием гистограмм частостей независимо от предполагаемого теоретического закона распределения.

Математическое ожидание исследуемой случайной величины есть начальный момент первого порядка:

, (2.4)

где: к – число интервалов разбиения вариационного ряда;

x_cpi - расстояние от середины i-го интервала до начала координат.

Дисперсия, характеризующая разброс случайной величины около математического ожидания, есть центральный момент второго порядка:

. (2.5)

Как известно,

. (2.6)

Для завершения формирования вероятностно-статистической модели необходимо найти параметры, формирующие теоретический закон распределения. Поскольку в нашем распоряжении имеются только определенные по статистическим данным величины m и σ, параметры, определяющие теоретические законы распределения, выбранные в качестве вероятностно-статистической модели, рассчитываются в зависимости от вида закона распределения.

Нормальный закон распределения определяется двумя параметрами: математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ , вычисленными методом моментов. Экспоненциальный закон распределения содержит один параметр λ , при этом . (2.7) Распределение Вейбулла является двухпараметрическим: величинаa есть параметр масштаба и величина b – параметр формы распределения. Чтобы определить эти величины, необходимо воспользоваться табл. П.3 и определить параметры a и b так, как это описано в п.1.2. Следует иметь в виду, что если окажется, что b=1, то это соответствует экспоненциальному закону распределения. Также целесообразно сделать предположение об экспоненциальном законе распределения, если параметр b несильно отличается от единицы.

Если b < 1, то функция f(x) имеет резко спадающий характер, при b > 1 эта функция имеет асимметричный вид со сдвинутым относительно середины максимумом.

Гамма-распределение характеризуется параметрами m и (1.20) илии( 1.21).Функцияf(x) плотности вероятностей имеет асимметричный вид, сходный с распределением Вейбулла при b >1. Определять параметры иследует так, как это указано в п.1.2.

Параметрами логарифмически-нормального распределения (для случая десятичных логарифмов) являются величины и; величина представляет собой математическое ожидание случайной величины x=lg y, а - ее среднеквадратическое отклонение. Функцияf(y) имеет асимметрический вид, как и функция для гамма-распределения и сходна с распределением Вейбулла.

Если возникают сомнения в том, какую функцию распределения выбрать в качестве вероятностно-статистической модели, следует обратиться к физической сущности рассматриваемой случайной величины.

Для быстрого выбора вида функции распределения следует обратиться к одной из процедур автоматизированной системы анализа надежности «Диана» [4].

Окончательное заключение о теоретическом законе распределения рассматриваемой случайной величины и есть по сути дела формирование вероятностно-статистической модели объекта или процесса эксплуатации.