6.3. Вероятностно-статистические модели на основе непрерывных Марковских процессов Определение и основные уравнения для непрерывных Марковских процессов

Пусть имеется непрерывный процесс . Его значения в последовательные моменты времени, сутьПроцессявляется Марковским, если условные плотности вероятностей зависят только от последнего значенияв моменти не зависят от других более ранних значений, т.е.

(6.18

.

Иначе говоря, будущее поведение Марковского процесса не зависит от прошлого, если точно известно его состояние в настоящий момент времени. Марковский процесс называют также процессом без последствия.

Все сказанное справедливо для любых значений интервалов , а не только для последнего интервала.

Для вероятность переходанепрерывного Марковского процесса удовлетворяет следующим уравнениям в частных производных:

(6.19) (6.20)

Уравнение (6.19) для процесса броуновского движения встречалось в работах Фоккера (в 1914 г) и Планка (в 1917г). Строгое математическое обоснование этому уравнению дано Колмогоровым . Им же впервые получено уравнение (6.20). Поэтому приведенные уравнения часто называют уравнениями Фокера-Планка-Колмогорова.

Величины ,и,определяют особенности рассматриваемого Марковского процесса и являются числовыми, но не случайными функциями времени.

Если имеется несколько реализаций конкретного процесса, то эти величины могут быть рассчитаны по следующим формулам:

; (6.21)

. (6.22)

Здесь знаки означают усреднение по всем возможным реализациям.

По традиции, связанной с изучением броуновского движения, называют коэффициентом сноса а- коэффициентом диффузии.

Коэффициент сноса характеризует среднее значение локальной скорости, или скорость изменения ординаты процесса. Коэффициент диффузиихарактеризует локальную скорость изменения дисперсии приращения Марковского процесса, или, другими словами, скорость изменения условной дисперсии ординаты процесса. Коэффициент диффузии не может быть отрицательным, т.е. всегда.

Вместо обозначения условной плотности вероятностей в виде введем обозначение.

Перепишем уравнения Фокера-Планка-Колмогорова в новых обозначениях: ; (6.23)

. (6.24)

Записанные уравнения по существующей классификации дифференциальных уравнений в частных производных принадлежат к типу параболических уравнений. Для их решения необходимы начальные и граничные условия, которые определяются существом решаемой задачи.

Для решения уравнений Фокера-Планка-Колмогорова применяют следующие методы: метод разделения переменных, применение преобразования Лапласа, метод характеристических функций, метод замены переменных и численные методы.

Рассмотрим способ решения в случае, когда ине зависят от времени, т.е.и. Для достаточно большого промежутка времени будет иметь место стационарный процесс.

В этом случае , функциязависит только оти вместо уравнения (6.23) имеем обыкновенное линейное уравнение второго порядка:

, или . (6.25)

Общий вид решения этого уравнения выглядит следующим образом:

. (6.26)

Окончательное решение можно получить, если определить числовые параметры a(x) b(x) по зависимостям (6.21) и (6.22).

Постоянная c определяется из условия нормировки .

Достижение границ одномерным непрерывным Марковским процессом.

Обозначим случайную функцию, характеризующую непрерывный Марковский процесс через . Это может быть, например, величина напряжения, или вообще показания какого-то прибора, характеризующие параметры процесса. Границы допустимой области изменения этого параметра. Требуется определить вероятность того, что в течение интервала временивыполняется неравенство, т.е. процесс не выходит за заданные границы (рис.6.5).

Рис.6.5

Рассматриваемая ситуация часто возникаеот при решении многих практических задач. К таким задачам относятся задачи теории надежности, в частности, требование для нормальной (безаварийной) работы системы не выходить параметрам этой системы за установленные допустимые пределы. Другим примером может служить определение условий безаварийного полета самолета (вертолета) на низкой высоте, когда при заданной точности высотомера, характера аэродинамических возмущений и заданных свойствах автопилота, необходимо определить вероятность того, что самолет ни разу не коснется поверхности земли.

Для решения сформулированной задачи введем в рассмотрение плотность вероятностей того, что в момент времениордината (значение) случайного процессабудет находиться в интервале () при условии, что в интервале временизначение ординаты ни разу не вышло за границы дозволенной области.

Искомая вероятность недостижения границ к моменту времени в этом случае определится равенством:

. (6.27)

До того, как функция достигнет границ, она должна обладать теми же свойствами, что и функция, не имеющая границ. Следовательно, плотность вероятностейдолжна удовлетворять уравнению (6.23), т.е. в новых обозначениях можно записать:

. (6.28)

Определим начальные условия для решения этого уравнения. В начальный момент ордината случайной функции определена и равна.(6.29)

Здесь - дельта функция Дирака (симметричная единичная импульсная функция).

Если же в начальный момент точное значение ординаты случайной функции не известно, то задается закон распределения этой ординаты, т.е. начальное условие в этом случае:

, (6.30)

где - плотность вероятностей значения начальной ординаты случайной функциипри условии.

Граничные условия возникают в момент, когда ордината случайной функции дойдет до одной из границ заданной зоны («коснется» границы). В этом случае плотность вероятностей обращается в нуль:

. (6.31)

Таким образом, для определения искомой вероятности необходимо путем решения уравнения (6.28) при начальном условии (6.29) (или 6.30) найтии путем интегрирования этой же функции найти.

Сложность возникает вследствие определения величин и, которые могут быть рассчитаны по формулам (6.21) и (6.22).