5.2. Классификация случайных процессов

Изменение во времени любой физической системы, обусловленное неконтролируемыми факторами, есть случайный процесс, который аналитически может быть выражен вещественной функцией . Значения этой функции при различныхназываютсостояниями системы: . Совокупность всех значений состоянийназываютпространством состояний .

В зависимости от того, дискретное или непрерывное множество состояний принимает случайная величина и ее параметр, различают следующие виды случайных процессов:

1. Дискретная случайная последовательность (дискретные состояния и дискретное время). Параметр принимает ряд дискретных значений, а дискретная случайная величинапринимает дискретное множество значений. Множества значенийимогут быть конечными или бесконечными в зависимости от физической сущности процесса.

2. Процесс с непрерывным множеством состояний и дискретным временем. В этом случае случайная величина может принимать континиум значений. Примером могут служить случайные выборки из непрерывного случайного процесса.

3. Процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. В этом случае величина принимает дискретные значения (), а время- континиум значений. Такой вид случайного процесса встречается довольно часто в инженерной практике. Например, отказ любого элемента (переход из исправного состояния в неисправное) технической системы может произойти в любой момент времени. Окончание ремонта (восстановление) этого элемента также происходит в заранее не фиксированный момент времени.

4. Непрерывнозначный случайный процесс. В данном случае как аргумент , так и сама случайная величина (состояние)в некоторые моменты времени имеет скачок, а между скачками ведет себя как непрерывный процесс.

Кроме этих основных видов случайных процессов могут быть смешанные. В качестве таковых процессов могут быть дискретно-непрерывные процессы, когда непрерывный случайный процесс в некоторые моменты времени имеет скачки, а между скачками ведет себя как непрерывный процесс.

5.3. Марковские случайные процессы

Среди множества видов случайных процессов большое теоретическое и практическое значение имеют процессы, обладающие следующим свойством: для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при) зависит только от ее состояния в настоящем (при) и не

зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом) .

Впервые это свойство было сформулировано русским математиком Марковым А.А. в 1906 году, и впоследствии это свойство стало принято называть Марковским свойством, а случайные процессы, обладающие этим свойством, стали называть Марковскими процессами. В соответствии с приведенной в п.5.2 классификацией случайных процессов, применительно к случайным Марковским процессам различают: Марковские цепи, Марковские последовательности, Марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, а также смешанные Марковские процессы.

При анализе случайных Марковских процессов с дискретными пространствами состояний удобно пользоваться наглядной геометрической схемой – графом состояний. Граф состояний изображает возможные состояния системы с указанием (в виде стрелок) возможных переходов из состояния в состояние.

При этом для случая дискретного пространства состояний и дискретного времени (цепь Маркова) у стрелок проставляются соответствующие вероятности переходов (рис. 5.1). Такой граф состояний называют размеченным , а величины означают вероятности переходов из-го состояния в-е состояние. Так, на рис.5.1 величинаозначает вероятность перехода из первого состояния во второе, величина- из третьего состояния в пятое и т.д.

Рис. 5.1

Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем вместо переходных вероятностей у стрелок указываютсяплотности вероятностей переходов (рис. 5.2).

Плотность вероятности перехода есть предел отношения вероятности перехода системы за времяиз состоянияв состояние:

. (5.1)

С точностью до бесконечно малых больших порядков вероятность перехода за времяравна:

. (5.2)

Рис. 5.2

Если плотности вероятностей переходов не зависят от времени, то такой Марковский процесс называетсяоднородным, при наличии зависимости от времени, т.е. если , процесс называетсянеоднородным .