12

ЭКОНОМЕТРИКА

Контрольная работа

Вариант A

3. Модель множественной линейной регрессии.

Имеются данные по 16 сельхозпредприятиям (таб. 3.1).

Таблица 3.1

Номер хозяйства	Валовой доход, руб./га, y	Затраты труда, чел.-дни/га, x1	Доля пашни, %, x2	Надой молока на 1 корову, кг, x3
1	704	265	45,1	3422
2	293	193	35,1	1956
3	346	229	69,4	2733
4	420	193	60,2	3254
5	691	225	59,0	3323
6	679	255	63,4	3179
7	457	201	58,1	3073
8	503	208	51,8	3257
9	314	170	73,2	2669
10	803	276	59,0	4235
11	691	188	42,5	3790
12	775	232	50,5	3658
13	584	173	48,6	3801
14	504	183	51,6	3266
15	777	236	58,9	5173
16	1138	265	38,8	5526

Задания:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

2. Дайте сравнительную оценку силы влияния факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности, а также с помощью стандартизированных коэффициентов регрессии.

3. Оцените качество уравнения регрессии при помощи коэффициентов детерминации. Проверьте нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия Фишера.

4. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции. Прокомментируйте полученные результаты.

5. На основе полученных показателей отберите существенные факторы в модель. Постройте модель только с существенными переменными и оцените ее параметры. Оцените статистическую значимость параметров «укороченного» уравнения регрессии, а также оцените его качество в целом. Сравните ее с предыдущей регрессионной моделью.

6. Найдите прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.

Решение

1. Модель множественной линейной регрессии имеет вид

, (3.1)

где y – зависимая переменная (результативный признак), x₁, x₂, x₃ – независимые (объясняющая) переменные,  – случайные отклонения, ₀, ₁, ₂ и ₃ – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

, (3.2)

где b₀, b₂, b₃ и b₁ – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК) (см. зад. 1). В результате получаем систему нормальных уравнений:

(3.3)

Для численного решения этой системы, ее лучше записать в виде

(3.4)

Для промежуточных расчетов составим таблицу

Таблица 3.1

№	y	x1	x2	x3	y2
1	704	265	45,1	3422	70225	2034,01	11710084	495616
2	293	193	35,1	1956	37249	1232,01	3825936	85849
3	346	229	69,4	2733	52441	4816,36	7469289	119716
4	420	193	60,2	3254	37249	3624,04	10588516	176400
5	691	225	59,0	3323	50625	3481,00	11042329	477481
6	679	255	63,4	3179	65025	4019,56	10106041	461041
7	457	201	58,1	3073	40401	3375,61	9443329	208849
8	503	208	51,8	3257	43264	2683,24	10608049	253009
9	314	170	73,2	2669	28900	5358,24	7123561	98596
10	803	276	59,0	4235	76176	3481,00	17935225	644809
11	691	188	42,5	3790	35344	1806,25	14364100	477481
12	775	232	50,5	3658	53824	2550,25	13380964	600625
13	584	173	48,6	3801	29929	2361,96	14447601	341056
14	504	183	51,6	3266	33489	2662,56	10666756	254016
15	777	236	58,9	5173	55696	3469,21	26759929	603729
16	1138	265	38,8	5526	70225	1505,44	30536676	1295044
Итого	9679	3492	865,2	56315	780062	48460,74	210008385	6593317
Среднее значение	604,94	218,25	54,08	3519,69	48753,88	3028,80	13125524,06	412082,31
s2	46132,93	1120,81	104,69	737323,96
s	214,79	33,48	10,23	858,68

Таблица 3.1 (продолжение)

	yx1	yx2	yx3	x1x2	x1x3	x2x3
1	186560	31750,4	2409088	11951,5	906830	154332,2
2	56549	10284,3	573108	6774,3	377508	68655,6
3	79234	24012,4	945618	15892,6	625857	189670,2
4	81060	25284,0	1366680	11618,6	628022	195890,8
5	155475	40769,0	2296193	13275,0	747675	196057
6	173145	43048,6	2158541	16167,0	810645	201548,6
7	91857	26551,7	1404361	11678,1	617673	178541,3
8	104624	26055,4	1638271	10774,4	677456	168712,6
9	53380	22984,8	838066	12444,0	453730	195370,8
10	221628	47377,0	3400705	16284,0	1168860	249865
11	129908	29367,5	2618890	7990,0	712520	161075
12	179800	39137,5	2834950	11716,0	848656	184729
13	101032	28382,4	2219784	8407,8	657573	184728,6
14	92232	26006,4	1646064	9442,8	597678	168525,6
15	183372	45765,3	4019421	13900,4	1220828	304689,7
16	301570	44154,4	6288588	10282,0	1464390	214408,8
Итого	2191426	510931,1	36658328	188598,5	12515901	3016800,8
Среднее значение	136964,13	31933,19	2291145,50	11787,41	782243,81	188550,05

Тогда нормальная система уравнений примет вид:

(3.5)

_{Решая эту систему линейных уравнений (методом Гаусса или методом Крамера), получим}

Отметим, что уравнение множественной регрессии можно получить матричным способом, что особенно удобно при компьютерном моделировании подобных процессов. Введем следующие матрицы

, , .

Тогда коэффициенты множественной регрессии можно найти следующим образом:

.

_{Здесь матрицы перемножались с пользованием программы MathCAD.}

_{Таким образом, уравнение множественной регрессии будет иметь вид}

. (3.6)

Это уравнение показывает, что величина валового дохода на 1 га сельхозугодий в среднем по совокупности возрастала на 2,26 руб. при увеличений затрат труда на 1 ч/га; уменьшалась в среднем на 4,31 руб. при возрастании доли пашни в сельхозугодьях на 1% и увеличивалась на 0,166 руб. при росте надоя на корову на 1 кг. Отрицательное значение коэффициента b₂ – сигнал о существенном неблагополучии в экономике изучаемых хозяйств, где растениеводство убыточно, а прибыльно только животноводство. При рациональных методах ведения сельского хозяйства и нормальных ценах на продукцию всех отраслей, доход должен не уменьшаться, а возрастать с увеличением пашни.