3.Приближенный метод расчета задачи теплопроводности в ребре с нелинейными граничными условиями

Рассмотрим ребро постоянного сечения, на поверхности которого существует одновременно два режима теплообмена: на начальном участке переходный режим кипения (участок 1), на остальной части пузырьковый (участок 2) (рис. 1.2).

С читается, что стабильность режима сохраняется при изменении границы от начала ребра до его конца . Для упрощения задачи будем считать, что торец ребра не отдает тепло, хотя в принципе эту теплоотдачу можно учесть. Сущность метода заключается в следующем. Задаем температуру корня ребра , температура на границе режимов при известна и равна критической , .

Вначале задаем на каждом участке постоянные коэффициенты теплоотдачи и , соответствующие средним температурам на этих участках и . Коэффициенты теплоотдачи выбираем в соответствии с кривой Нукияма.

Задача состоит в определении границы и теплового потока в основание ребра. Если , теплообмен устойчив, если устойчивость нарушается.

Система уравнений теплопроводности для первого и второго участков:

; ; ;

(1.3)

; ; .

Для второго участка начало координат взято на границе .

Граничные условия:

; ; ; (1.4)

Решение уравнений (1.3):

; ;

;

Постоянные А, В, С, D находятся из условий (1.4).

На основании решения уравнений (1.3) получаем следующее трансцендентное уравнение для определения границы :

. (1.5)

Таким образом, задаваясь , можно найти координату , распределение температур на первом и втором участках и тепловой поток в основание ребра :

; ;

; ;

.

Пример 1.1. Вычислим границу и тепловой поток в основание медного ребра длиной м и толщиной м.

Температура основания ребра относительно температуры кипения (137 °С).

Температура на границе режимов (125 °С).

Соответствующие коэффициенты теплоотдачи Вт/(м²· ^оС); Вт/(м²· ^оС). Отношение .

Решив уравнение (1.5), находим для координату м. Соответствующий тепловой поток составит Вт/м².

Вывод. На основании первого приближения установлено, что ребро устойчиво , рассеивает удельный поток Вт/м², что в 1,7 раза выше критического.

Для повышения точности расчета необходимо выполнить второе приближение, заключающееся в следующем. Поверхность ребра по длине разбивается на четыре участка, на каждом из которых устанавливаются новые значения уточненных коэффициентов теплоотдачи и . После решения системы из четырех дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями, получаем новое, более точное, но и более громоздкое выражение для определения координаты :

.

Пример 1.2. Рассчитаем испарительное охлаждение ребра прямоугольного сечения.

Ребро длиной l и толщиной δ находится в кипящей воде с температурой t_s (рис.1.2). Температура корня ребра при x=0 превышает температуру кипения воды на 50 °C, что выше критической температуры в два раза.

T₀ = t₁(0) – t_s = 50 °C.

Точка x = ξ – критическая с температурой t₀ = t₂(0) – t_s = 25 °C, в которой происходит переход к пузырьковому режиму кипения на участке 2.

Усредненные коэффициенты теплоотдачи на участках 1 и 2 в соответствии с кривой Нукияма составляют:

α₁ = 1,2·10⁴ Вт/(м²· ^оС); α₂ = 2·10⁴ Вт/(м²· ^оС).

Соответствующие характеристики участков при толщине ребра δ = 6 ·10^–3 м и теплопроводности меди λ = 384 Вт/(м²· ^оС):

= 102,06 м^–1; = 131,76 м^–1.

Длина ребра l = 20 ·10^–3 м.

Требуется доказать, что охлаждение устойчиво. Если координата ξ находится в пределах длины ребра, то охлаждение устойчиво: 0 < ξ < l. Можно ужесточить это условие, задав, например, 0 < ξ < 0,75l.

Вычислим тепловой поток в корень ребра. Расчет выполняется по двум моделям:

1. Пессимистическая модель. Теплоотдачей с торца ребра пренебрегаем, т. е. .

Координату ξ находим, решив методом последовательных приближений трансцендентное уравнение

= 2;

ξ = 6 ·10^–3 м.

Тепловой поток в корень ребра

= 207,4·10⁴ Вт/м².

2. Оптимистическая модель. Теплопередачу с торца ребра считаем неограниченной. Тогда θ₂| _{x=(l – ξ)} = 0.

Из выражения = 2 находим ξ = = 5,7·10^–3 м.

Тепловой поток = 215,8 Вт/м².

Таким образом отличие в расчетах по двум моделям составляет чуть больше 3 %. Охлаждение устойчиво, так как ξ = 6 ·10^–3 << 20 ·10^–3.