Свойства отношений
1. Рефлексивность
а) отношение ρ на множестве Х называется рефлексивным, если для любого элемента x X выполняется х ρ х.
Главная диагональ матрицы содержит только 1
б) отношение ρ на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента x X не выполняется х ρ х.
Главная диагональ матрицы содержит только 0
2. Симметричность
а) отношение ρ на множестве Х называется симметричным,
если для любых x,y X из х ρ у следует у ρ х.
Матрица симметрична относительно главной диагонали
б) отношение ρ на множестве Х называется
антисимметричным, если для любых x,y X из х ρ у и у ρ х
следует х = у.
3. Транзитивность
отношение ρ на множестве Х называется транзитивным,
если для любых x,y,z X х ρ у, у ρ z следует х ρ z.
Пример 1 |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
рефлексивно, т.к., например, 1 ρ 1 (или (1;1) ρ, или 1;1 ρ) не является симметричным, например, (1;2) ρ, но (2;1) ρ антисимметрично
транзитивно, т.к., например, (1;2) ρ, (2;3) ρ, то и (1;3) ρ
Пример 2 |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
рефлексивно
симметрично
антисимметрично
транзитивно
Пример 3
1 2 3 4
1 0 1 1 1
2 0 0 1 1
3 0 0 0 1
4 0 0 0 0
антирефлексивно
не является ни симметричным, ни антисимметричным
транзитивно
Пример 4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
|
|||||||
|
a |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
b |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
c |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
d |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
e |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
рефлексивно
(главная диагональ матрицы содержит только 1) симметрично
(матрица симметрична относительно главной диагонали)
не является антисимметричным
((a;c) ρ и (c;a) ρ, но a c )
не транзитивно
((a;c) ρ, (c;b) ρ, но (a;b) ρ)
Пример 5
Пусть на множестве N×N, где N – множество натуральных чисел, определено отношение
ρ: (x, y) ρ (u, v) xv=yu
Бинарное отношение ρ на множестве Х называется
отношением эквивалентности на множестве Х, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры:
1)отношение параллельности прямых на множестве прямых на плоскости;
2)отношение подобия фигур на плоскости;
3)отношение равенства.
Пусть ρ - некоторое отношение эквивалентности на
множестве M. Каждому элементу x Х поставим в соответствие подмножество [x] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении ρ с элементом x:
[x] = {y | y ρ x} - класс эквивалентности.
Система непустых подмножеств {M1,M2,...} множества М
называется разбиением этого множества, если
M M1 M2 ...
и при i j
Mi Mj Ø
Сами множества M1,M2,... называются классами данного разбиения.