11. Измерение асимметрии и эксцесса. Использование коэффициентов асимметрии и эксцесса для проверки нормальности распределения.

Для характеристики асимметрии используют несколько показателей:

1. Самый простой: А_s= А_s>0 вытянут вправо (правосторонняя асимметрия)

А_s<0 вытянут влево (левосторонняя асимметрия)

2. Для сравнения асимметрии в нескольких рядах используется показатель относительный

А_s =(  )/σ

3. Наиболее часто используют центральный момент третьего порядка

μ>0 правосторонняя асимметрия

μ<0 левосторонняя асимметрия

Показатель эксцесса характеризует крутость распределения. При одной и той же средней арифметической ряд может быть островершинным и низковершинным.

Если  >0 – островершинный

<0 – низковершинный.

Величина А_S может быть положительна и отрицательна. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии, при этом существует следующее соотношение между показателями: М₀<М_е<

Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии: М₀>М_е> .

Эксцесс – выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Линдберг предложил следующий показатель

Е_х = n – 38,9, где n – доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, = ½Б в ту или другую сторону от  .

Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка.

В кривой нормального распределения

Если Е_Х>0, то эксцесс считают положительным (распределение островершинное).

Если Е_Х<0, то эксцесс отрицательный (распределение низковершинное).

В качестве критерия нормальности распределения служат As и Es к их ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по следующим приближенным формулам:

; (3.3)

Более точно ошибки коэффициентов As и Es определяют по формулам

(3.5)

12. Сущность метода дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ – метод статистического исследования, с помощью которого изучается влияние отдельных факторов на результативный показатель. Он позволяет среди множества факторов выделить один и оценить его влияние на вариацию результативного признака и влияние всех других факторов в совокупности на вариацию результативного признака.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

Этапы проведения дисперсионного анализа:

1. Определяется множество факторов, потенциально влияющих на Y.

2. Из всех факторов выделяется один основной.

3. Проводится группировка всей совокупности данных по выбранному признаку (число, интервал).

4. Рассчитывается общая дисперсия Y(по всей совокупности).

5. Рассчитывается межгрупповая дисперсия – характеризует вариацию Yпод влиянием фактора, положенного в основу группировки:

где: nj – объем группы; – среднее значение признака внутри группы.

6. Вариация Yпод влиянием прочих факторов оценивается с помощью средней из внутригрупповых дисперсий:

7. Проверка: сумма межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий должна равняться общей дисперсии (теорема сложения дисперсии).

8. Правильность выбора фактора оценивается с помощью относительных показателей вариации:

– коэффициент детерминации: – характеризует долю вариацииY, обусловленную влиянием фактора (например, 70% – т.е. 70% вариации Y объясняется влиянием фактора);

– эмпирическое корреляционное отношение: – характеризует тесноту связи (по шкале Чеддока).

Как правило, дисперсионный анализ проводится итеративным способом, когда происходит последовательный анализ влияния факторов на Yдо тех пор, пока не будут определены наиболее важные факторы.