Баттерфляй

Функция «баттерфляй» (butterfly) – «бабочка» была разработана в конце 60-х годов Рабинером и Гоулдом. Свое название она получила из-за того, что построенная в соответствии с ней сеть по конфигурации напоминает крылья бабочки (рис. 12.4). Здесь i-ый бит меняется с крайним. Различают суб-баттерфляй (sub-butterlfy), где в обмене участвует младший бит:

β_i(b_m, b_m-1, …, b_i+1, b_i, b_i-1, …, b₂, b₁) = (b_m, b_m-1, …, b_i+1, b₁, b_i-1, …, b₂, b_i)

и супер-баттерфляй, где в обмене участвует старший бит.

βⁱ(b_m, b_m-1, …, b_i+1, b_i, b_i-1, …, b₂, b₁) = (b_i, b_m-1, …, b_i+1, b_m, b_i-1, …, b₂, b₁)

Отметим, что из симметрии вытекает свойство: β_m = β¹

Хотя функция «баттерфляй» используется в основном при объединении ступеней в сетях с динамической многоступенчатой топологией, известны также и «чистые» «баттерфляй»-сети.

Рис. 12.4. Примеры топологий функций маршрутизации «баттерфляй» для: а) β₂, m=2; б) β₃, m=3; в) β₂, m=3; г) β², m=3.

Реверсирование битов

Как следует из названия, функция сводится к перестановке битов адреса в обратном порядке:

R(b_m , b_m-1 , …, b₁) = (b₁ , b₂ , …, b_m).

Соответствующая топология для m = 3 показана на рис. 12.5. Отметим, что для значений m=2 и m=3 функция реверсирования битов совпадает с функцией «баттерфляй» β₂ и β₃, поскольку обмен крайних битов оказывается эквивалентен реверсированию.

Рис. 12.5. Пример функции маршрутизации на основе формулы реверсирования битов (m = 3)

Рис. 12.6. Функция маршрутизации на основе алгоритма сдвига (m=3)

Сдвиг

Функции маршрутизации по алгоритму сдвига имеют вид:

SH(x) = (х + 1) mod N (N = 2^m).

SL(x) = (х – 1) mod N (N = 2^m).

При m = 3 данным функциям соответствует топология кольца (рис. 12.6). SH – против часовой стрелки, SL – по часовой стрелке.

Сеть illiac IV

Комбинируя несколько вариантов функции сдвига, можно образовать более сложные функции маршрутизации. Наиболее известной из таких «сложных» функций является сеть ILLIAC IV, впервые реализованная в топологии вычислительной системы ILLIAC IV:

R₊₁ = (i + 1) mod N;

R_-1 = (i – 1) mod N;

R_+r = (i + r) mod N (0≤i≤N-1);

R_-r = (i – r) mod N (r = √N).

Приведенные соотношения для N = 4 отвечают двум вариантам топологии, показан­ным на рис. 12.7.

Рис. 12.7. Топологии сети ILLIAC IV: а — в виде решетки; б — в виде хордального кольца

Первый вариант представляет собой фигуру, построенную на базе плоской решетки, где узлы в каждом столбце замкнуты в кольцо, а узлы в последовательных рядах соединены в замкнутую спираль. Второй вариант соответствует хордальному кольцу с шагом хорды, равным 4.

Циклический сдвиг

Функция циклического сдвига (barrel shift) описывается выражениями

B_+i(j) = (j + 2ⁱ) mod N,

B_-i(j) = (j – 2ⁱ) mod N, где 0 j N-1, 0 i  log₂N - 1.

Топологию сети на базе рассматриваемой функции маршрутизации данных иллюстрирует рис. 12.8.

Рис. 12.8. Пример топологии на основе функции циклического сдвига ±2i

Статические топологии

К статическим топологиям CMC относят такие, где между двумя узлами возможен только один прямой фиксированный путь, то есть статические топологии не предполагают наличия в сети коммутирующих устройств. Если же такие устройства имеются, то используются они только перед выполнением конкретной задачи, а в процессе всего времени вычислений топология CMC остается неизменной.

Из возможных критериев классификации статических сетей чаще всего выбирают их размерность. С этих позиций различают:

• одномерные топологии (линейный массив);

• двумерные топологии (кольцо, звезда, дерево, решетка, систолический массив);

• трехмерные топологии (полносвязная топология, хордальное кольцо);

• гиперкубическую топологию.

Ниже рассматриваются основные виды статических топологий CMC без акцентирова­ния внимания на какой-либо их классификации, поскольку этот момент для поставленных в учебнике целей несущественен.