demyanenko-repeta2

Добавил:

And3 ... Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

Высшая математика

Файл:

y (t )= C e3t + C

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.06.2024

Размер:

739.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Систему

cos 2x

−2sin 2x

C′	(x )cos 2x + C′			(x )sin 2x = 0,
1			2
C′	(x )(−2sin 2x)			+ C′	(x)(2 cos 2x)=		1	.
C′	(x )(−2sin 2x)			+ C′	(x)(2 cos 2x)=			.
1				2			cos 2x
							cos 2x
розв’яжемо методом Крамера:
sin 2x		= 2, 1 =	0		sin 2x	= − tg 2x,



2 cos 2x			1		2 cos 2x

			cos 2x
			cos 2x

cos 2x

2 =

−2sin 2x

C′

Отже,

1− 1

cos 2x

(x )=

= −

tg 2x

(x )= −

tg 2x

dx =

+ A ,

cos 2x

∫

C2′ (x )=

C2 (x)=

∫

dx =

+ B .

yз.н.

cos 2x

+ A cos 2x +

+ B sin 2x .

В – 1

ККР 3–6

В – 2

ККР 3–6

Знайдіть

загальний

вигляд

Знайдіть

загальний

вигляд

частинного розв’язку неоднорідного

рівняння

y′′ + 9 y = 12sin 3x .

y′′ − y = 3ex .

2. Знайдіть розв’язок задачі Коші

y′′ − 4 y = 2 cos 2x , y (0)= 1,

y′′ + 4 y = sin x, y (0)= 1, y′(0)= 1.

y′(0)= 3 .

3. Знайдіть загальний розв’язок

рівняння

′′

2 y

′

+ y

e− x

y′′ − y′ =

1 + ex

В – 3

ККР 3–6

В – 4

ККР 3– 6

Знайдіть

загальний

вигляд

Знайдіть

загальний

вигляд

частинного розв’язку неоднорідного

рівняння

y′′ − 2 y′ + y = (3x2 + 7)ex .

y′′ − 4 y′ + 4 y = 2e2 x x .

2. Знайдіть розв’язок задачі Коші

y′′ − y = 3e2 x , y (0)= 2, y′(0)= 4 .

Знайдіть

загальний

розв’язок

y′′ − 6 y′ + 9 y = 9x

− 12x + 2

рівняння

y (0)= 1, y′(0)= 3.

y′′

+ y =

sin2 x

3. Знайдіть загальний розв’язок

рівняння

y′′ + y = ctg x .

В – 5

ККР 3–6

В –6

ККР 3–6

Знайдіть

загальний

вигляд

Знайдіть

загальний

вигляд

частинного розв’язку неоднорідного

рівняння

y′′ − 5 y′ + 6 y = e2 x (3x + 4).

y′′ − 3 y′ + 2 y = ex (x2 + 2x − 2).

Знайдіть розв’язок задачі Коші

2. Знайдіть розв’язок задачі Коші

y′′ − 4 y′ + 4 y = 2ex , y (0)= 3, y′(0)= 5 .

y′′ + y = 4xex , y (0)= 0, y′(0)= 1 .

3. Знайдіть загальний розв’язок

Знайдіть

загальний

розв’язок

рівняння

e2 x

y′′ − 4 y′ + 5 y =

y′′ − y′ = e2 x cos ex .

cos x

В – 7

ККР 3–6

В – 8

ККР 3–6

Знайдіть

загальний

вигляд

Знайдіть

загальний

вигляд

частинного розв’язку неоднорідного

рівняння

y′′ + 2 y′ + 2 y = 3e− x cos x .

y′′ + 9 y = 3sin 3x .

2. Знайдіть розв’язок задачі Коші

y′′ + 2 y′ = 5cos x, y (0)= 1, y′(0)= 0 .

y′′ + y = 2(1 − x )ex , y (0)= 3, y′(0)= 3 .

Знайдіть

загальний

розв’язок

3. Знайдіть загальний розв’язок

рівняння

y′′ + 4 y′ + 4 y = e−2 x ln x .

y′′ − y′ =

1 + ex

В – 9

ККР 3–6

В – 10

ККР 3–6

Знайдіть

загальний

вигляд

Знайдіть

загальний

вигляд

частинного розв’язку неоднорідного

рівняння

y′′ + 4 y = 5cos 2x .

y′′ − 5 y′ = (x2 − 1)e5 x .

2. Знайдіть розв’язок задачі Коші

2.Знайдіть розв’язок задачі Коші

y′′ + y = 3cos 2x , y (0)= 1, y′(0)= 2 .

y′′ + y = 5x2 , y (0)= 0, y′(0)= 6 .

Знайдіть

загальний

розв’язок

3.Знайдіть

загальний

розв’язок

рівняння

y′′

+ y =

sin x

y′′ − 2 y′ + y =

x2 + 1

Відповіді :

№

задача

2 задача

3 задача

вар.

yКоші

e2 x −

e−2 x −

yз.н. = − ln (1 + ex )+

yч.н. = x( Acos 3x +

+ B sin 3x)

−

cos 2x

+ A + ln

ex (1 + ex )

yКоші

= cos 2x −

yз.н. = (B − x)e

− x

yч.н. = Ax2ex

−

sin 2x +

sin x

+ xe− x (ln

+ A)

yз.н. = cos x ×

yч.н. = e

( Ax

+ Bx +

= e3x + x2

×(A − sin x)+

Коші

+ sin x ×

+C)

×(B − cos x − ln x 2 )

yз.н. = B sin x − 2 +

4 yч.н. = e2 x x2 (Ax + B ) yКоші = ex (x + 1)+ e2 x + cos x ×

×(lnctg2 ( x 2) + A)

з.н.

= e2 x sin x ×

= e2 x x (Ax + B )

= e2 x (x + 1)+ 2ex

×(x + B )+

ч.н.

Коші

+ (A − ln

cos x

)×

×e2 x cos x

yч.н. = ex x (Ax2 + Bx + C )

yКоші = 2 cos x + sin x +

yз.н. = A + Bex −

+2ex (x − 1)

− cos ex

= e

− x

yКоші = cos x + 2sin x +

yз.н. = A − ln (ex + 1)+

yч.н.

x( Acos x

+ B sin x)

(2 − x )

+e ln

+ B

ex + 1

yч.н. = x( Acos 3x +

yКоші = 1 + e−2 x − cos x +

yз.н. = e−2 x (Ax + B )+

+2sin x

−2 x

(1 2 ln | x

| − 3 4)

+ B sin 3x)

= x( Acos 2x +

yКоші = 2 cos x + 2sin x −

yз.н.

= cos x (A − x)+

ч.н.

− cos 2x

+ B sin 2x)

+ sin x (ln

sin x

+ B )

			yКоші = 10cos x − 6sin x +			yз.н. = (B − ln		)×
10	yч.н. = e5 x (Ax2	+ Bx + C )x	yКоші = 10cos x − 6sin x +			yз.н. = (B − ln	x2 + 1	)×
10			+5x	2	− 10
			+5x		− 10	×ex + (A + arctg x )xex
						×ex + (A + arctg x )xex

ККР-3-7

Тема: Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Укожному з десяти варіантів контрольної роботи міститься лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь.

Упункті а) необхідно розв’язати запропоновану систему методом виключень. Застосування методу зводить систему до лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі спеціальною правою частиною без резонансу. Корені характеристичного рівняння прості і дійсні. Приблизний час виконання цього завдання 15-20 хвилин.

Упункті б) необхідно розв’язати однорідну систему, що відповідає запропонованій і розв’язати її матричним методом. Власні числа матриці системи дійсні та різні. Приблизний час виконання 5 хвилин.

Загалом робота розрахована на 20-25 хвилин.

Приклад 3-7-1. Розв’яжіть а) неоднорідну систему методом виключень,

б) відповідну однорідну систему матричним методом:

x′ = x − 2 y + 52sin 2t,

y′ = x + 4 y + 26sin 2t + 26 cos 2t.

Розв’язання. а) З другого рівняння системи виразимо х: x = y′ − 4 y − 26sin 2t − 26 cos 2t .

Диференціюємо друге рівняння системи: y′′ = x′ + 4 y′ + 52 cos 2t − 52sin 2t та підставимо в нього x′ та x :

y′′ = ((y′ − 4 y − 26sin 2t − 26 cos 2t )− 2 y + 52sin 2t )+ 4 y′ + 52 cos 2t − 52sin 2t ,

y′′ − 5 y′ + 6 y = 26 cos 2t − 26sin 2t

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 2-го порядку зі спеціальною правою частиною. Розв’яжемо його. Характеристичне рівняння:

			3	yз.о.	= C1e3t + C2e2t ;
	λ2 − 5λ + 6 = 0 λ =		2	yз.о.	= C1e3t + C2e2t ;
			2
y	= Acos 2t + B sin 2t, y′	= −2 Asin 2t + 2B cos 2t, y′′				= −4 Acos 2t − 4B sin 2t .
ч.н.	ч.н.				ч.н.

Підставимо ці співвідношення в рівняння і методом невизначених

коефіцієнтів знайдемо константи: A = − 13 , B = − 39 . 8 8

Тоді,

Для знаходження функції x (t ) продиференціюємо знайдену функцію y (t ):

y′(t )= 3C e3t + 2C

e2t

sin 2t −

cos 2t .

Підставимо y (t )

та y′(t )

у рівняння

x = y′ − 4 y − 26sin 2t − 26 cos 2t ,

звідки і отримаємо функцію x (t ).

Отже, розв’язок системи має вигляд:

x (t )= −C e3t

− 2C

e2t

−

117

cos 2t −

sin 2t

y (t )= C e3t

+ C

e2t

−

cos 2t −

sin 2t

x′

= x − 2 y

б) Відповідна однорідна система має вигляд:

y′

= x + 4 y

Запишемо її у матричному вигляді:

X ′ = AX ,

−2

x (t )

де

A = 1

4 –

матриця системи, X = y (t ) – невідомий розв’язок системи.

Знайдемо розв’язки характеристичного рівняння системи:

−2

1 − λ

det (A − λE )=

4 − λ

= 0 λ2 − 5λ + 6 =

0 λ1,2 = 2

– обидва

корені прості, дійсні, тому частинні розв’язки системи мають вигляд:

= ae3t , X be2t ,

де

a,b – власні вектори матриці A . Загальний розв’язок буде лінійною

комбінацією її частинних розв’язків. Знайдемо власні вектори матриці A :

1) λ1 = 3 :

−2 −2

−a1 = a2

−1

, s1 R ,

(A − 3E )a

= 0, a =

a = 0

a = s1

2) λ2 = 2 :

−1 −2

−2

(A − 2E )b = 0,b =

b = 0

b1 = −2b2 b = s2

, s2 R .

Зважаючи на те, що добуток довільних дійсних констант рівний деякому дій- сному числу, запишемо загальний розв’язок однорідної системи:



X = C1

або в координатній формі:

−1		3t		+ C2	−2	2t	, C1,C2		R ,
	e			+ C2	e		, C1,C2		R ,
1					1
x	(t )		= −C e3t − 2C					e2t
				1		2		.
								.
	y (t )= C1e3t + C2e2t

В – 1		ККР 3–7	В – 2		ККР 3–7
Розв’яжіть			Розв’яжіть
а) неоднорідну систему методом			а) неоднорідну систему методом
виключень;			виключень;
б) відповідну однорідну систему			б) відповідну однорідну систему
матричним методом			матричним методом
	+ 2e	t		x′ = 2x − y

x′ = y

y′ = x + t 2.			y′ = −2x + y + 18t.

В – 3		ККР 3–7	В – 4		ККР 3–7
Розв’яжіть			Розв’яжіть
а) неоднорідну систему методом			а) неоднорідну систему методом
виключень;			виключень;
б) відповідну однорідну систему			б) відповідну однорідну систему
матричним методом			матричним методом
x′ = y − 5cos t			x′ = 4x − 3 y + sin t

y′ = 2x + y.			y′ = − y + 2x − 2 cos t.
В – 5		ККР 3–7	В – 6		ККР 3–7
Розв’яжіть			Розв’яжіть
а) неоднорідну систему методом			а) неоднорідну систему методом
виключень;			виключень;
б) відповідну однорідну систему			б) відповідну однорідну систему
матричним методом			матричним методом
x′ = 3x + 2 y + 4e5t			x′ = 2x − y
					− 5et sin t.
y′ = x	+ 2 y.		y′ = 2 y − x
В – 7		ККР 3–7	В – 8		ККР 3–7
Розв’яжіть			Розв’яжіть
а) неоднорідну систему методом			а) неоднорідну систему методом
виключень;			виключень;
б) відповідну однорідну систему			б) відповідну однорідну систему
матричним методом			матричним методом

x′ = x + 2 y		x′ = 2x + y + et

y′ = x − 5sin t.		y′ = 2x + 3 y + 2t.
В – 9	ККР 3–7	В – 10	ККР 3–7
Розв’яжіть		Розв’яжіть
а) неоднорідну систему методом		а) неоднорідну систему методом
виключень;		виключень;
б) відповідну однорідну систему		б) відповідну однорідну систему
матричним методом		матричним методом
x′ = 2x + 2 y		x′ = x + 3 y + 2sin t

y′ = 3x + y	+ 2et .	y′ = x	− y.

Відповіді:

№

варіан Пункт а) Пункт б) -та

x = et (C + t + 1)

− C

e−t − t 2

− 2

λ1,2 = ±1,

−t −1

+ t )+ C2e−t − 2t

x = C1e

y = et (C1

+ C2e

x = C1 + C2e

+ 3t

+ 2t

+ C2e

e3t + 6t 2 − 2t − 2

x = C1

y = 2C − C

−1

−t

− 2sin t − cos t

λ =

−1

x = 0,5C e

− C

y = C e2t + C

e−t

0,5

−1

+ 3cos t + sin t

−t

= C1e

+ C2e

1,5

x = 1,5C1e

+ C2e

− 2sin t + cos t

x = C1e

y = C e2t

+ C

et + 2 cos t = 2sin t

+ C2e

x = 2C e4t

− C

+ 3e5t

−1

x = C1e

y = C e4t

+ C

+ e5t

+ C2e

(C2

− 3cos t − sin t )

−1

t 1

x = −C1e

+ e

x = C1e

+ et (C2 + 3cos t + sin t )

+ C2e

y = C1e3t

−t

x = 2C1e

− C2e

− cos t + 3sin t

+ C

e−t + 2 cos t − sin t

−1

y = C e2t

−t −1

x = C1e

+ C2e

x = C e4t

+ C

et + 5

+ 2

tet

+ 1 t

4t 1

t 1

λ =

= C e

+ C

y = 2C1e

− C2e

−

− 2

, x

−1

λ =

x = C e4t + C e−t − 2

−1 ,

− 3

e−t +

4t 1

y = C e4t

−t

x = C e

+ C

−

x = 3C e2t − C

e−2t − 0, 4(cos t + sin t )

λ = ±2 ,

e−2t = 0.4sin t

−1

y = C e2t

+ C

−2t

x = C1e

+ C2e

Список рекомендованої літератури

Підручники і посібники

1.Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб./ В. П. Дубовик, І. І.

Юрик.—К.: А. С. К., 2006.—647с.—ІSBN 966-539-320-0.

2.Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 2/ П. П.

Овчинников.—К.: Техніка, 2000.—792 с.—ІSBN 966-575-153-0.

3.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс/Д. Письменный.—М.: Айрис-Пресс, 2008.—608 с.—ІSBN 978-5-8112-

3118-8, 978-5-8112-3480-6.

4. Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев.—М.: Оникс, 2009.—608 с.—ІSBN 978-5-488-02067-2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке Материал

#
27.06.2024739.19 Кб0demyanenko-repeta.pdf
#
27.06.2024739.19 Кб0demyanenko-repeta2.pdf
#
27.06.2024132.96 Кб0photo1637656788.jpeg
#
27.06.2024147.4 Кб0photo1637656807.jpeg
#
27.06.202482.12 Кб0photo1637656817.jpeg
#
27.06.2024141.86 Кб0photo1637656835.jpeg
#
27.06.2024145.51 Кб0photo1637656849.jpeg