Добавил:

And3 ... Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

Высшая математика

Файл:

demyanenko-repeta2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.06.2024

Размер:

739.19 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних.

Елементи теорії поля. Диференціальні рівняння

Методичні вказівки до виконання короткочасних контрольних робіт з математичного аналізу

для студентів першого курсу технічних факультетів

Київ 2012

Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Елементи теорії поля. Диференціальні рівняння: Методичні вказівки до виконання короткочасних контрольних робіт з математичного аналізу для студентів першого курсу технічних факультетів / Уклад.: О.О.Дем’яненко, Л.А.Репета. – К.: НТУУ «КПІ», 2012.- 68 с.

Гриф надано Методичною радою ФМФ НТУУ «КПІ» ( Протокол № 5 від 24.05.2012)

Навчальне видання

Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Елементи теорії поля.

Диференціальні рівняння.

Методичні вказівки до виконання короткочасних контрольних робіт з математичного аналізу

для студентів першого курсу технічних факультетів

Укладачі: Дем’яненко Ольга Олегівна, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Репета Леся Анатоліївна, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний редактор Ю. П. Буценко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Рецензент О. І. Макаренко, канд. фіз.-мат. наук, професор.

За редакцією укладачів Електронна версія

Київ 2012

Зміст
Загальні положення ........................................................................................	3
ККР 1-1. Область визначення функції…………………………………………..4
ККР 1-2. Диференціювання функції багатьох змінних………………………...6
ККР 1-3. Дотична площина і нормаль до поверхні……………………………10
ККР 1-4. Локальний екстремум функції двох змінних………………………..12
ККР 1-5. Умовний екстремум функції двох змінних………………………….14
ККР 2-1. Обчислення подвійних інтегралів........................................................	18
ККР 2-2. Застосування подвійних інтегралів .....................................................	22
ККР 2-3. Застосування потрійних інтегралів до обчислення
об’ємів тіл .......................................................................................	…25
ККР 2-4. Застосування криволінійних інтегралів 1-го та 2-го роду ..........… 29
ККР 2-5. Застосування поверхневого інтеграла 1-го роду .............................	33
ККР 2-6. Скалярні та векторні поля ..................................................................	36
ККР 2-7. Формула Стокса ..................................................................................	39
ККР 3-1. Диференціальні рівняння 1-го порядку з відокремлюваними
змінними ..............................................................................................	42
ККР 3-2. Однорідні та лінійні диференціальні рівняння
1-го порядку ..........................................................................................	44
ККР 3-3. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
Рівняння Бернуллі. Рівняння в повних диференціалах ..................	49
ККР 3-4. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають
зниження порядку ...............................................................................	52
ККР 3-5. Лінійні однорідні рівняння вищих порядків.....................................	55
ККР 3-6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння вищих
порядків .................................................................................................	59
ККР 3-7. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами ......................................................................................	64
Список рекомендованої літератури…………………………………………….68

Загальні положення.

Методичні вказівки складаються з 19 комплектів варіантів корот- кочасних контрольних робіт за розділами: „ Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Елементи теорії поля. Диференціальні рівняння”. До кожного комплекту варіантів додаються короткий коментар, що містить рекомендації щодо розв’язання задач контрольної роботи та часу її виконання, приклади розв’язування запропонованих задач та відповіді до кожного з варіантів. Короткочасні контрольні роботи виконують студентами першого курсу технічних спеціальностей у першому та другому семестрах.

ККР-1-1

Тема: Область визначення функції багатьох змінних.

Контрольна робота розрахована на 5-7 хвилин і містить одну задачу: знайти область визначення функції двох змінних. Відповідь необхідно подати графічно.

Приклад. Знайдіть і зобразіть на координатній площині область

визначення функції z = log	2 (x2 + y2 ) + ln( x + y) , a2 > 1.
a

Розв’язання. Областю визначення функції є множина точок площини, для яких визначено вираз loga2 ( x2 + y2 ) + ln( x + y) , тобто

				2	+ y	2	) ≥ 0	x		2	2
log			2 ( x		+ y		) ≥ 0	x			+ y ≥ 1
		a							y > −x.
	x + y > 0,
	x + y > 0,

-1

y = − x

В-1

ККР 1-1

В-2

ККР 1-1

Знайдіть і зобразить на координатній

площині область визначення функції

z = y sin x .

z =

y2 − x2 .

В-3

ККР 1-1

В-4

ККР 1-1

Знайдіть і зобразить на координатній

площині область визначення функції

z = ln x − x ln sin y .

z = (x2 + y2

− R2 ) ln

+ y2

В-5

ККР 1-1

В-6

ККР 1-1

Знайдіть і зобразить на координатній

площині область визначення функції

z = ln(x ln( y − x)) .

z =

x2 + y2

− x

2x − x2

− y2

В-7

ККР 1-1

В-8

ККР 1-1

Знайдіть і зобразить на координатній

площині область визначення функції

y − 1

z = arcsin

z =

sin(x2 + y2 ) .

В-9

ККР 1-1

В-10

ККР 1-1

Знайдіть і зобразить на координатній

площині область визначення функції

z =

x − y

+ ln xy .

z = arccos y2 + arcsin(1 − y) .

Відповіді:

2 x

–π

22π

1/2

y =

y=x+1

= – x

	y
y	y	y=x+1

3		7
R	x
R	x		1
			1
			x
			y=x–1

2πn ≤ x2 + y2 ≤ π + 2πn

	2π
4	π	8	x
4		8	x
		x
	–π
	–2π

	y	x = y2			y	x = y2
9	y	x = y2		10	2	x = y2
9			x	10	– 4	4 x

ККР-1-2

Тема: Диференціювання функцій багатьох змінних.

Контрольна робота розрахована на 20 хвилин і містить три задачі.

Упершій задачі необхідно знайти частинні похідні функції трьох змінних і обчислити перший диференціал у вказаній точці. Приблизний час виконання 5 хвилин.

Удругій задачі пропонується обчислити значення похідної складеної функції у вказаній точці. Приблизний час виконання 5 хвилин.

Утретій задачі необхідно знайти частинні похідні другого порядку і довести вказані рівності. Приблизний час виконання 10 хвилин.

Приклад	1-2-1. Обчисліть			повний			диференціал функції

u = arcsin(x y ) − yz2 у точці M (0; 4;1) .
Розв’язання. Повний диференціал функції знаходять за формулою
	du =	∂u	dx +	∂u	dy +	∂u	dz .
				∂y		∂z
		∂x

Знайдемо частинні похідні і обчислимо їх значення у точці М.

∂u

= 2,

= (

− z2 )

= −1,

= −2 yz

= −8 .

∂x

1 − x

∂y

y 1 − x

∂z

Тоді du(M ) = 2dx − dy − 8dz .

Приклад 1-2-2. Обчисліть

значення

похідної

складеної функції

u = x y

у точці M (e;0) , якщо

x = et ,

y = ln t.

Розв’язання. Для знаходження похідної складеної функції

використаємо формулу

∂u

∂x dt

∂y dt

Знайдемо відповідні частинні похідні:

∂u

= yx y−1;

∂u

= ln | x | x y ;

= et ;

∂x

∂y

У точці

М параметр

t = 1.

Обчислимо значення похідної

x = et ,

−1

y = ln t

(M ) = 0

+ ln e e

= 1.

t = 1.

1-2-3.

Доведіть,

що

функція z =

sin

Приклад

du за умови dt

задовольняє

рівняння

∂z

+ y

∂z

= −

∂2 z

∂x

∂y

2 ∂y2

Розв’язання. Знайдемо відповідні частинні похідні функції.

∂z

sin

cos

(−

) =

sin

−

cos

∂x 2 x

2 x

x x x

∂z

∂2 z

∂ 1

y 1

cos

(

cos

) = −

sin

= −

sin

∂y

∂y2

∂y

x x

Підставимо в рівняння знайдені похідні

sin

−

cos

) + y

cos

= −

(−

sin

)

2 x

x x x

2 x x

sin

. Отже, функція задовольняє рівняння.

В-1			ККР 1-2
1. Обчисліть повний			диференціал
функції	u =	z	у точці


		x2 + y2
		x2 + y2

M(0; − 1;1) .

2.Обчисліть значення похідної du

складеної функції u = e

x = sin t, M (0;0) , якщо

y = t3.

3.	Доведіть,					що
z = sin(x − y) + ln(x + y)
рівняння		∂2 z	=	∂2 z	.
		∂x2
				∂y2

y−2 x у точці

функція

задовольняє

В-2	ККР 1-2
1. Обчисліть повний	диференціал

функції u = arctg( xy2 + z) у точці

M (2;1;0) .

2. Обчисліть значення похідної du dt

складеної функції u = − ln(ex + e− y ) у

				2
		x = t			,
точці M (1; − 1) , якщо			y = t3.
			y = t3.

3.	Доведіть,	що			функція

z = e− x (x − y)				задовольняє рівняння
∂2 z	−	∂2 z	= −2(	∂z	−	∂z
							) .
∂x2		∂y2
				∂x		∂y

В-3

ККР 1-2

В-4

ККР 1-2

1. Обчисліть повний диференціал 1. Обчисліть повний диференціал

функції

u = ln cos(x2 y2 + z)

точці

функції

u = ln( 5 x + 4 y − z)

у точці

M (0;0; π ) .

M (1;1;1) .

Обчисліть

значення

похідної

Обчисліть

значення похідної

u = arcsin( x )

складеної

функції

u =

x + y2 + 3

складеної

функції

x = ln t,

точці M (0;1) , якщо

точці M (0; − 1) , якщо x = sin t,

y = t 2.

Доведіть,

що

функція

y = cos t.

z = tg(xy) + ex y задовольняє рівняння

Доведіть,

що

функція

z = 4e−2 y + (2x + 4 y − 3)e− y − x − 1

∂2 z

− y

2 ∂2 z

∂z

− x

∂z

= 0 .

задовольняє

рівняння

∂x2

∂y2

+ x

∂x

∂y

∂2 z

+ 2

∂2 z

+ 2 = z + x

∂z

∂x2

∂y2

+ 3( )

∂x∂y

∂x

В-5

ККР 1-2

В-6

ККР 1-2

1. Обчисліть повний диференціал 1. Обчисліть повний диференціал

функції u =

z x y

у точці M (1; 2; 4) .

у точці M (2;1;1) .

Обчисліть

значення похідної

функції u = arctg y2

Обчисліть

значення

похідної

складеної

функції

точці

u = y + 1

складеної

функції

u = x2e y

у точці

M (1;0) , якщо x = 1 − 2t,

M (−1;0) , якщо x = cos t,

y = arctg t.

y = sin t.

Доведіть,

що

функція

Доведіть,

що

функція

z = y

z = ln( x + e− y )

задовольняє

рівняння

∂z

∂2 z

∂z ∂2 z

задовольняє

рівняння

∂y ∂x

2 .

2 ∂2 z

∂x ∂x∂y

∂x2 = y

∂y2 .

В-7

ККР 1-2

В-8

ККР 1-2

1. Обчисліть повний диференціал 1. Обчисліть повний диференціал

функції

u = ln(x3 + 3 y − z)

точці

функції

u =

z ln(

x +

y )

у точці

M (2;1;8) .

M (4;1; 4) .

Обчисліть

значення похідної

Обчисліть

значення

похідної

складеної

функції

u = arctg( xy)

складеної

функції

u = arcsin 2x

точці M (3;1) , якщо x = t + 3,

точці M (0; − 1) , якщо x = sin t,

y = et .

Доведіть,

що

функція

y = cos t.

z = sin2 (x − 2 y) задовольняє рівняння

Доведіть,

що

функція

∂

z = e− x−3 y sin(x + 3 y)

задовольняє

4 ∂x2 −

∂y2

= 0 .

рівняння

∂2 z ∂2 z

9 ∂x2 = ∂y2 .

В-9

ККР 1-2

В-10

ККР 1-2

1. Обчисліть повний диференціал 1. Обчисліть повний диференціал

функції

u =

z sin( x )

точці

функції

u = sin(x − y)

точці

M (2;0; 4) .

π π

3) .

M ( ;

;

Обчисліть

значення

похідної

Обчисліть значення похідної

складеної функції

u =

x2 + y2 + 3

u = y2

точці M (0;1) , якщо x = ln t,

складеної

функції

точці

y = t3.

M (1;1) , якщо x = 1 − 2t,

Доведіть, що функція z = xe

)

y = 1 + arctg t.

задовольняє

рівняння

Доведіть,

що

функція

∂2 z

+ (

2 ∂2 z

∂2 z

= 0 .

z = ln( x2 − y2 ) задовольняє

рівняння

∂x2

)

+ 2

x ∂y2

x ∂x∂y

∂

z −

∂

= 0 .

∂x2

∂y2

Відповіді:

№

Завдання 1

Завдання 2

вар.

du = dy + dz

–2

du = 1 (dx + 4dy + dz)

5 2

du = −dz

du = 1 dx + 1 dy − dz

5 4

du = 4dx + 1 dz

–5

6	du =	1		(dx − 4dy + 2dz)									–1

	5
7	du = 12dx +					1		dy − dz					2 5

			3
8	du =	1		dx +	1		dy +			ln 3		dz	2

	6		3						4
9	du = dy												3 2

10	du =	1		dx −	1		dy −			1	dz		4

	2		2						6

ККР-1-3

Тема: Дотична площина і нормаль до поверхні.

Контрольна робота розрахована на 5-7 хвилин і містить одну задачу: скласти рівняння дотичної площини і нормальної прямої до поверхні, заданої неявним рівнянням в указаній точці.

Приклад. Скласти рівняння дотичної площини і нормальної прямої у

точці M (3; 2;12) до поверхні

x2 − y2 + 5x − 4 y − z = 0 .

Розв’язання. Поверхню задано рівнянням F ( x; y; z) = 0 , тому рівняння

дотичної площини у точці M ( x0 ; y0 ; z0 ) знайдемо за формулою

′(M )( x − x ) + F ′ (M )( y − y

) + F ′(M )( z − z

) = 0 ,

а рівняння нормальної прямої за формулою

x − x0

y − y0

z − z0

F′(M ) F ′ (M )

F′(M )

Отже, F′(M ) = (2x − 5)

F′ (M ) = (−2 y − 4)

= −8 ,

F′(M ) = −1 .

= 11,

Підставимо одержані похідні у формули:

11(x − 3) − 9( y − 2) − 1( z − 12) = 0 або 11x − 8 y − z − 5 = 0

–

рівняння дотичної

площини; рівняння нормальної прямої:

x − 3

y − 2

z − 12

−9

−1

В-1

ККР 1-3

В-2

ККР 1-3

Скласти рівняння дотичної площини

і нормальної

прямої

до

поверхні

і нормальної

прямої

до

поверхні

x2 − xy + y2 − z = 0 у точці M (2;1;3) .

x sin y − z = 0 у точці M (2;

;1) .

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Материал

#
27.06.2024739.19 Кб0demyanenko-repeta.pdf
#
27.06.2024739.19 Кб0demyanenko-repeta2.pdf
#
27.06.2024132.96 Кб0photo1637656788.jpeg
#
27.06.2024147.4 Кб0photo1637656807.jpeg
#
27.06.202482.12 Кб0photo1637656817.jpeg
#
27.06.2024141.86 Кб0photo1637656835.jpeg
#
27.06.2024145.51 Кб0photo1637656849.jpeg