МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

(МТУСИ)

Кафедра Информатики

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

по теме:

«Методы решения дифференциального уравнения»

Вариант 4

Выполнил: студент группы БИН220*

*

Проверил:

Старший преподаватель

Юсков Игорь Олегович

Москва 2024

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 4-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

• дифференциальное уравнение ;

• интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

• начальные условия x₀, y₀;

• шаг интегрирования h_0.

2. Найти аналитическое решение заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3. Вычислить значения полученного решения на отрезке [a;b] с шагом h₀.

4. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h₀ с помощью «ручного счета».

5. Вычислить значения погрешностей для , , .

6. Написать и выполнить программу, реализующую программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка yрк(х) в точках отрезка [a;b] с шагом h0, обеспечив с использованием метода автоматического выбора шага, точность 10^-4.

7. В ычислить значения погрешностей .

для x_i = x₀ + ih, i=0,1,…,n

8. Найти решение дифференциального уравнения y^s(x)

9. Графически проиллюстрировать решения .

Индивидуальное задание:

Таблица 1

№ вар	Уравнение	x0	y0	h0	a	b
4	y' = y/cos2(x)	0	1	0.25	0	0.75

Аналитическое решение

Дифференциальное уравнение:

Интервал: [0; 0.75]

Начальные условия:

Шаг интегрирования:

Решение ОДУ аналитическим методом:

Общее решение дифференциального уравнения:

Из начальных условий , найдём константу С:

Частное решение дифференциального уравнения:

Значения точного решения ОДУ:

Рис. 1

Решение методом Эйлера(методом Рунге-Кутты 1-го порядка)

Рис. 2

Вычислим значения погрешностей

для

n=(b-a)/h=10

Таблица 2

0	0
0.25	0.041
0.5	0.144
0.75	0.442

Схема алгоритма решения ОДУ с автоматическим выбором шага, обеспечивающего заданную точность

Рис.3

Программа решения ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага (Python)

Рис.4 – Вывод программы

Таблица 3

0	1
0.25	1.291
0.5	1.737
0.75	2.539

Значения погрешностей

Вычислим значения погрешностей ,

Таблица 4

0	0
0.25	0.041
0.5	0.01
0.75	0

Все решения, полученные выше, сведем в таблицу результатов

Таблица 5

0	1	1	0	1	0
0.25	1.25	1.291	0.041	1.291	0.041
0.5	1.583	1.727	0.144	1.737	0.154
0.75	2.097	2.549	0.452	2.539	0.442

где

- аналитическое решение ОДУ,

- решение ОДУ, полученное методом Эйлера, ,

- решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка, .

Г рафическая иллюстрация решений , ,

Рис.5 – графики функций

Вывод:

В данном случае решение y^э(x) совпадает с .