Вариант 17 / 3 / Лабораторная 3Т
.docxМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Московский технический университет связи и информатики»
(МТУСИ)
Кафедра Информатики
Лабораторная работа №3
по дисциплине «Численные методы»
по теме:
«Аппроксимация функций»
Вариант 17
Выполнил: студент группы БИН220*
*
Проверил:
Старший преподаватель
Юсков Игорь Олегович
Москва 2024
1.Задание
Выбрать индивидуальное задание из табл. 3-1 и табл. 3-2 для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов: значения функции табл. 2-2 в узлах, указанных в табл. 2-1.
Выполнить линейную аппроксимацию:
составить систему нормальных уравнений и решить её;
вычислить значения аппроксимирующих функций в узловых точках и сравнить их со значениями исходной функции;
Вычислить среднеквадратичную погрешность (СКО).
С использованием математического пакета получить аппрокси-мирующие полиномы МНК 1, 2, 3, 4, 5 степеней и соответствующие СКО. Построить графики полученных полиномов.
Проанализировать результаты.
Индивидуальный вариант
Таблица 1
-
N варианта
Функция из табл. 3-2
Номера узлов из табл. 3-2
17
F2
1,3,5,7,9,11
Таблица 2
-
-номер
узла
1
-1.5
-1,15
1,25
3
-1.3
0,236
2,056
5
-1.1
1,256
2,577
7
-0.9
0,91
1,81
9
-0.7
-0,436
0,124
11
-0.5
-1,416
-1,116
Выполнение задания
Задание для решения задачи аппроксимации
Для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов выберем функцию y(x), заданную следующей таблицей:
Таблица 3
-
-0.5
-0.7
-0.9
-1.1
-1.3
-1.5
-1,116
0,124
1,81
2,577
2,056
1,25
2.Линейная аппроксимация:
Вычислим и запишем в табл. 3-3 элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов:
Таблица 4
-
0
-0.5
-1,116
0.558
0.25
1
-0.7
0,124
-0.087
0.49
2
-0.9
1,81
-1.629
0.81
3
-1.1
2,577
-2.835
1.21
4
-1.3
2,056
-2.673
1.69
5
-1.5
1,25
-1.875
2.25
-6
6.071
-8.541
6.7
Составим системы нормальных уравнений: для линейной функции P1(x) = А0+А1*x система нормальных уравнений примет вид (линейная аппроксимация):
6*А0-6*А1 = 6.071
-6*А0+6.7*А1 = -8.541
решить систему уравнений: получим коэффициенты А0 = -2.296 и А1 = -3.529, тогда полином первой степени будет таким: P1(x) = -2.296-3.529*x
Таблица 5
-
-0.7
-0.9
-1.1
-1.3
-1.5
0,124
1,81
2,577
2,056
1,25
0.174
0.88
1.586
2.291
2.997
-0.05
0.93
0.991
-0.235
-1.747
Рассчитаем
СКО:
Рис.1
3.Аппроксимация с помощью математического пакета
Осуществить аппроксимацию таблично заданной функции многочленом 1, 2, 3, 4 и 5-й степени.
В этом примере рассмотрено использование функции linfit(x,y,f), где x,y- соответственно векторы значений аргументов и функции, а f – символьный вектор базисных функций. Использование этой функции позволяет определить вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов и далее невязку - среднеквадратическую погрешность приближения исходных точек к аппроксимирующей функции (сkо). Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. В примере представлена аппроксимация таблично заданной функции многочленом 1, 2, 3, 4, 5-й степени, . Вектор s представляет собой набор аппроксимирующих коэффициентов, что позволяет получить аппроксимирующую функцию в явном виде.
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Рис.5
Вывод: Среднеквадратическая погрешность аппроксимации функции полиномом n-ой степени на заданном интервале зависит от свойств функции и распределения узлов интерполяции
В частности, если функция является достаточно гладкой и узлы интерполяции равномерно распределены на заданном интервале, то среднеквадратическая погрешность может быть близка к нулю при увеличении степени полинома. Однако, если функция имеет разрывы или особенности, то даже высокостепенный полином может не дать достаточно точного приближения.
Таким образом, среднеквадратическая погрешность аппроксимации полиномом 5-ой степени зависит от свойств функции и распределения узлов интерполяции, и не всегда бывает близка к нулю. В общем случае необходимо оценивать погрешность для конкретной функции и распределения узлов интерполяции.