Вариант 17 / 2 / 2 Лабораторная Т

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

(МТУСИ)

Кафедра Информатики

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

по теме:

«Интерполяция функций»

Вариант 17

Выполнил: студент группы БИН220*

*

Проверил:

Старший преподаватель

Юсков Игорь Олегович

Москва 2024

I. ЗАДАНИЕ

Общее задание к работе

1. Выбрать индивидуальное задание из табл.:

• точку интерполяции x = a для интерполяции многочленом Ньютона;

• точку интерполяции x = b для интерполяции многочленом Лагранжа;

2. Для интерполяции в точке x = a выбрать из таблицы с интерполируемой функцией 4 подходящих узла для построения многочленов 1, 2 и 3-ей степени.

3. Перенумеровать узлы интерполяции для каждого из методов

интерполяции. Занести перенумерованные узлы в таблицы.

4. Выполнить вручную интерполяцию по заданной формуле заданной точке

x = a или x = b многочленами 1–й, 2–й и 3–й степени:

• заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);

• записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени многочлена;

• выполнить расчеты по интерполяционным формулам для каждой степени многочлена; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.

• занести полученные результаты в таблицу; для многочленов 1–й и 2–й степени вычислить и занести в таблицы и оценки погрешности интерполяции: модули разности между текущим Pk(x) (Lk(x)) и следующим Pk+1(x) (Lk+1(x))

значением многочлена.

5. Решить задачу интерполяции в точке с точностью 0.0001 на компьютере.

6. Объяснить полученные результаты и сделать выводы.

Индивидуальный вариант задания

Таблица 1

№ вар	Вид интерполяционного многочлена		Мн-н Ньютона	Мн-н Лагранжа
	Многочлен Ньютона	Многочлен Лагранжа
	x=a	x=b
17	0.42	1.02	Ручной расчёт	На компьютере

II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.42.

Выбор и перенумерация узлов.

Выбор и перенумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.42 по 1 формуле Ньютона

выбираем 4 узла из таблицы так, чтобы точка a = 0.42 оказалась между

узлами с номерами с 0 по 1 и добавляем узлы вправо:

Таблица 2

№ узла	Значение аргумента xi	Значение функции yi
7	0.40	-3.6320
8	0.45	-3.4890
9	0.5	-3.3250
10	0.55	-3.1385

Занесем в более удобную таблицу:

Таблица 3

k	0	1	2	3
Xk	0.4	0.45	0.5	0.55
Yk	-3.6320	-3.4890	-3.3250	-3.1385

Ручной расчет по формуле Ньютона.

Запишем интерполяционные многочлены Ньютона 1–й, 2–й и 3–й

степени и вычислим их значения в точке x = a = 0.42:

Таблица 4

X	Y	Y	Y	Y
1,40	4,9280	0,8480	0,0510	0,0015
1,45	5,7760	0,8990	0,0525
1,50	6,6750	0,9515
1,55	7,6265

Рис.1 – результат расчёта в Mathcad

Выражения для многочленов 1, 2 и 3 степени могут быть получены после соответствующих преобразований формулы, в нашем случае они будут иметь вид:

Рис.3

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Таблица 5

Степень многочлена k	Pk(x)	Оценки погрешности
1	-3.5748	0.0025
2	-3.5773	0.002
3	-3.5753

Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:

Можно утверждать, что разность между точным значением функции и

значением функции в т. x = 0.42 после 3-х итераций не превышает 0.002.

2. Точка интерполяции для формулы Лагранжа b = 1.02.

Для интерполяции в точке x = b = 1.02 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 4 узла так, чтобы точка b = 1.02 оказалась в центре отрезка интерполяции: узлы с номерами с 9 по 12.

Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки x.

Таблица 6

№ узла	Значение аргумента xi	Значение функции yi
18	0.95	-0.6565
19	1.00	-0.2000
20	1.05	0.2940
21	1.1	0.8270

Перенумеруем узлы интерполяции симметрично относительно точки х = b для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицу вида:

Таблица 7

k	0	1	2	3
Xk	1.00	1.05	0.95	1.1
Yk	-0.2000	0.2940	0.6565	0.8270

Рис.4 – блок-схема программы

Код программы и её вывод:

Рис.5 – код программы

Рис.6 – вывод программы

Вывод: Полученные выражения многочленов 2 и 3-ей степени, а также их

значения в заданной точке a=1.02 совпадают до 4 знака после десятичной

точки.