Вариант 26 / 26_variant
.pdf
Контрольная работа по АСП
Вариант 26
1ЧАСТЬ
Задача 1
Рассматривается случайная функция X(t) = U cos(3t+2), ãäå U - случайная величина, распределенная по равномерному закону R(−2; 7). Найти плотность распределения сечения этой функции и характеристики mX (t), DX (t), cX (t),
KX (t1, t2), rX (t1, t2).
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Плотность распределения случайной величины U: |
|||||||||
|
fU (u) = |
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
, −2 ≤ u ≤ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
− |
( |
− |
2) |
|
9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Математическое ожидание mX (t): |
|
|
|
||||||
mX (t) = E[X(t)] = E[U cos(3t + 2)] = cos(3t + 2)E[U]
E[U] = |
−2 + 7 |
= |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
mX (t) = cos(3t + 2) · |
|
|
= |
|
|
cos(3t + 2) |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. Дисперсия DX (t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
DX (t) = D[X(t)] = D[U cos(3t + 2)] = cos2(3t + 2)D[U] |
|||||||||||||||||||||||||||
D[U] = |
(7 − (−2))2 |
= |
|
81 |
|
|
= |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
DX (t) = cos2(3t + 2) · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Автокорреляционная функция KX (t1, t2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
KX (t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] = E[U2] cos(3t1 + 2) cos(3t2 + 2) |
|||||||||||||||||||||||||||
27 |
+ |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
27 |
|
|
25 |
|
52 |
|
||||||||||||
E[U2] = D[U] + (E[U])2 = |
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
= |
|
= 13 |
|||||||||||||||
4 |
2 |
4 |
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||
KX (t1, t2) = 13 cos(3t1 + 2) cos(3t2 + 2)
1
5. Корреляционная функция rX (t1, t2): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rX (t1 |
, t2) = |
|
KX (t1, t2) |
|
= |
|
13 cos(3t1 + 2) cos(3t2 + 2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
pDX (t1)DX (t2) |
q |
274 cos2(3t1 + 2) · |
274 cos2(3t2 + 2) |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
rX (t1, t2) = |
13 cos(3t1 |
+ 2) cos(3t2 + 2) |
= |
13 |
= |
13 · 4 |
= |
52 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27 |
+ 2) cos(3t2 + 2) |
27 |
27 |
27 |
||||||||||||
|
|
|
|
4 cos(3t1 |
4 |
|
|
|||||||||
Задача 2
Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной |
||||||
функции Y (t) = X(t)+ |
|
t |
X(s)ds, ãäå X(t) = Ut4 , à U - случайная величина, |
|||
распределенная по |
|
´ |
|
3 |
λ = 3 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
экспоненциальному закону с параметром |
|
. |
|||
Решение:
1. Математическое ожидание mY (t):
ˆ t ˆ t
mY (t) = E[Y (t)] = E X(t) + X(s)ds = E[X(t)] + E X(s)ds
0 0
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
X(t) = Ut4 , E[X(t)] = E[Ut4 |
] = t4 E[U] |
|||||||||||||||||||||||
|
|
U Exp(3), |
E[U] = |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
mY (t) = t4 |
· |
|
|
|
+ E ˆ0 |
Us4 ds |
|
|||||||||||||||
|
ˆ0 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
E |
t |
|
|
|
ˆ0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
s4 ds |
|||
Us4 ds = |
|
E[U]s4 ds = 3 ˆ0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ˆ0 |
s4 ds = s7 |
|
= |
7 t4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
4 |
7 |
1 |
|
3 |
|
|
|
4 |
7 |
||||||
|
mY (t) = t4 |
· |
|
|
+ |
|
|
· |
|
t |
4 = |
|
t4 + |
|
t4 |
|||||||||
|
3 |
|
|
3 |
7 |
3 |
21 |
|||||||||||||||||
2. Корреляционная функция KY (t1, t2):
ˆ t1
KY (t1, t2) = E[Y (t1)Y (t2)] = E X(t1) + X(s)ds X(t2) +
0
ˆ t2
KY (t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] + E X(t1) X(s)ds +
0
ˆ t1 ˆ t1 ˆ t2
+E X(s)ds · X(t2) + E X(s)ds X(s′)ds′
0 0 0
ˆ t2
X(s)ds
0
3
Все члены можно найти аналогичным образом, так как X(t) = Ut4 , à U - случайная величина экспоненциального распределения, процесс которого зависит от времени t.
2
Задача 3
Заданы случайные функции: X(t) = sin t + U cos t + V sin t. Y (t) = cos t −
U sin t+V cos t, ãäå U, V - некоррелированные случайные величины с математическим ожиданием равным нулю, и дисперсиями D(U) = 2, D(V ) = 3. Найти корреляционные функции KX (t1, t2) è KY (t1, t2), а также их взаимную корреляционную функцию.
Решение:
1. Математическое ожидание:
E[X(t)] = sin t + E[U] cos t + E[V ] sin t = sin t
E[Y (t)] = cos t + E[V ] cos t − E[U] sin t = cos t
2.Корреляционная функция KX (t1, t2):
KX (t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] = E[(sin t1+U cos t1+V sin t1)(sin t2+U cos t2+V sin t2)]
Поскольку U è V некоррелированы и имеют нулевые ожидания:
KX (t1, t2) = sin t1 sin t2 + E[U2] cos t1 cos t2 + E[V 2] sin t1 sin t2
=sin t1 sin t2+2 cos t1 cos t2+3 sin t1 sin t2 = (1+3) sin t1 sin t2+2 cos t1 cos t2
=4 sin t1 sin t2 + 2 cos t1 cos t2
3.Корреляционная функция KY (t1, t2):
KY (t1, t2) = E[Y (t1)Y (t2)] = E[(cos t1−U sin t1+V cos t1)(cos t2−U sin t2+V cos t2)]
Аналогично KX (t1, t2):
KY (t1, t2) = cos t1 cos t2 + E[U2] sin t1 sin t2 + E[V 2] cos t1 cos t2
=cos t1 cos t2+2 sin t1 sin t2+3 cos t1 cos t2 = (1+3) cos t1 cos t2+2 sin t1 sin t2
=4 cos t1 cos t2 + 2 sin t1 sin t2
4.Взаимная корреляционная функция KXY (t1, t2):
KXY (t1, t2) = E[X(t1)Y (t2)] = E[(sin t1+U cos t1+V sin t1)(cos t2−U sin t2+V cos t2)]
=sin t1 cos t2 + E[U(−U) cos t1 sin t2] + E[V 2] sin t1 cos t2
=sin t1 cos t2 − 2 cos t1 sin t2 + 3 sin t1 cos t2
=4 sin t1 cos t2 − 2 cos t1 sin t2
3
2ЧАСТЬ
Задача 1
Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию
KX (τ) = 1 − |
|Tτ| |
, |τ| ≤ T . Найти корреляционную функцию случайной |
|
||||||
функции Y (t) = αX(t) + |
dX(t) |
|
|
|
|
|
|||
dt . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Корреляционная функция KY (τ): |
αX(t + τ) + |
|
|
|||||
|
KY (τ) = E[Y (t)Y (t+τ)] = E αX(t) + dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
dX(t) |
|
dX(t + τ) |
|
2. |
Используя свойства стационарного процесса: |
|
|
|
|||||
KY (τ) = α2KX (τ) + α |
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
d2 |
||||||||||||
|
|
KX (τ) + α |
|
|
KX (τ) + |
|
|
|
|
|
|
KX (τ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
d(t + τ) |
|
|
dtd(t + τ) |
||||||||||||
Подставим KX (τ) = 1 − |
|Tτ| |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 − |
τ |
+α |
d |
1 − |
τ |
|
+α |
|
d |
1 |
|
|
τ |
|
+ |
|
d2 |
||||
KY (τ) = α2 |
| | |
|
|
| |
| |
|
− |
| |
| |
|
||||||||||||
T |
dt |
T |
|
d(t + τ) |
T |
|
dtd(t + τ) |
|||||||||||||||
3.Вычисляем производные:
d |
|
1 |
− |
|
|τ| |
|
|
= |
|
|
1 |
sign(τ) |
||||
dτ |
T |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−T |
|
|||||||||||
|
d2 |
1 |
|
|
|
τ |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
− |
| |
| |
= |
− |
|
δ(τ) |
||||||||
|
dτ2 |
T |
|
T |
||||||||||||
K |
|
(τ) = α2 |
1 |
|
|τ| |
|
α |
1 |
sign(τ) |
|
α |
1 |
sign(τ) |
|
2 |
δ(τ) |
Y |
− |
T |
− |
|
− |
|
− T |
|||||||||
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|||||||||
K |
|
(τ) = α2 |
1 |
|
|τ| |
|
2α |
sign(τ) |
|
2 |
δ(τ) |
Y |
− |
T |
− |
|
− T |
||||||
|
|
|
T |
|
|||||||
1 −
|τ|
T
Задача 2
Спектральная плотность SX (ω) стационарного случайного процесса X(t)
равна SX (ω) = 2 α 2 2 , ãäå α > 0, β > 0, −∞ < ω < ∞. Найти корреляционную
(ω +β )
функцию, дисперсию и эффективную ширину спектра процесса X(t).
4
Решение:
1. Корреляционная функция KX (τ): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
ˆ |
∞ |
|
|
1 |
|
ˆ |
∞ |
α |
|||
KX (τ) = |
|
|
SX (ω)eiωτ dω = |
|
|
|
|
eiωτ dω |
||||
2π |
−∞ |
2π |
|
(ω2 + β2)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
||
Решение этого интеграла приводит к: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
KX (τ) = |
απ |
e−β|τ| |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2β3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Дисперсия DX : |
|
|
|
|
|
|
απ |
|
|
|
||
|
|
|
|
DX = KX (0) = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2β3 |
|
|
||||||
3. Эффективная ширина спектра:
´ ∞
∆f = −∞ SX (ω)dω SX (0)
α
SX (0) = β4
|
α · |
π |
|
|
||
∆f = |
β3 |
|
= πβ |
|||
|
α |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
β4 |
|
|
|||
5