Вариант 3 / 3_variant

Контрольная работа по АСП

Вариант 3

Часть 1

Задача 1

√

Рассматривается случайная функция X(t) = 2U t, ãäå U случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 4). Найти плотность

распределения сечения этой функции и характеристики mX (t), DX (t), σX (t), KX (t1, t2), rX (t1, t2). 1. Найдем плотность распределения сечения функции X(t).

Плотность распределения U равна:

2. Найдем математическое ожидание mX (t):

√√

mX (t) = E[X(t)] = E[2U t] = 2 tE[U].

mX (t) = 2 t · 2 = 4 t.

1

3. Найдем дисперсию DX (t):

DX (t) = E[X(t)2] − (E[X(t)])2.

E[X(t)2] = E[(2U√t)2] = 4tE[U2].

Задача 2

Случайная функция X(t) задана своим каноническим разложением: X(t) =

mX (t) = E[X(t)] = Å[3 sin 2t + V1 sin 2t + V2 cos 2t] = 3 sin 2t.

Z t

Y (t) = 3 X(τ)dτ + 2 cos 2t.

2

2. Найдем KX (t, t′):

KX (t, t′) = Å[(X(t) − mX (t))(X(t′) − mX (t′))].

KX (t, t′) = Å[(V1 sin 2t + V2 cos 2t)(V1 sin 2t′ + V2 cos 2t′)].

KX (t, t′) = Å[V12] sin 2t sin 2t′ + Å[V22] cos 2t cos 2t′.

KX (t, t′) = 3 sin 2t sin 2t′ + 2 cos 2t cos 2t′.

3. Найдем KY (t, t′):

KY (t, t′) = Å[(Y (t) − mY (t))(Y (t′) − mY (t′))].

Z t Z t′

00

Z t Z t′

00

Z t Z t′ Z t Z t′

KY (t, t′) = 27 sin 2τdτ sin 2τ′dτ′ + 18 cos 2τdτ cos 2τ′dτ′.

0 0 0 0

Решение этих интегралов оставим для численного анализа. 4. Найдем дисперсию DY (t):

DY (t) = KY (t, t).

3

Задача 3

Дана случайная функция X(t) = Ue−2t, ãäå U случайная величина, распределенная по равномерному закону R(1; 3). Найти характеристики функции Y (t) = et · dXdt(t) +X(t): mY (t), KY (t, t′), DY (t), а также RXX (t1, t2).

dX(t)

1. Найдем dt :

X(t) = Ue−2t.

dX(t) = −2Ue−2t. dt

2. Найдем Y (t):

Y (t) = et · dX(t) + X(t) = et · (−2Ue−2t) + Ue−2t. dt

Y(t) = −2Ue−t + Ue−2t.

3.Найдем математическое ожидание mY (t):

KY (t, t′) = Å[Y (t)Y (t′)].

4

KY (t, t′) = Å[(−2Ue−t + Ue−2t)(−2Ue−t′ + Ue−2t′ )].

KY (t, t′) = 4Å[U2]e−t−t′ − 2Å[U2]e−t−2t′ − 2Å[U2]e−2t−t′ + Å[U2]e−2t−2t′ . KY (t, t′) = 4 · 133 e−t−t′ − 2 · 133 e−t−2t′ − 2 · 133 e−2t−t′ + 133 e−2t−2t′ .

KY (t, t′) = 523 e−t−t′ − 263 e−t−2t′ − 263 e−2t−t′ + 133 e−2t−2t′ .

6. Найдем дисперсию DY (t):

DY (t) = KY (t, t).

DY (t) = 523 e−2t − 263 e−3t − 263 e−3t + 133 e−4t.

DY (t) = 523 e−2t − 523 e−3t + 133 e−4t.

Часть 2

Задача 1

Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t):

SX (ω) = c, c > 0, −ω0 < ω < ω0, ω0 > 0.

Определить автокорреляционную функцию KY (τ) стационарного процесса

dX(t)

dt .

Для нахождения автокорреляционной функции KY (τ) воспользуемся следующим соотношением между спектральной плотностью и автокорреляционной

функцией:

KY (τ) = F−1{SY (ω)},

ãäå F−1 обозначает обратное преобразование Фурье.

Спектральная плотность Y (t) связана со спектральной плотностью X(t) следующим образом:

5

Задача 2

На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением y′(t) + 3y(t) = 4x′(t), поступает стационарный случайный процесс с характеристиками: mX = 1, SX (ω) = π(4ω12+1) , −∞ < ω < ∞. Найти mY , KY (τ) è DY процесса

Y (t) на выходе системы.

Сначала найдем mY . Так как система линейная , то: mY = H(0)mX ,

ãäå H(ω) - передаточная функция системы.

6

Передаточная функция системы:

Z

DY = −∞ π(ω2 + 9)(4ω2 + 1) dω.

7