Понятие квадратичного вычета (невычета). Символ Лежандра, порядок нахождения символа Лежандра.
Если сравнение x^2 ≡ a(mod m) имеет решение, то a называется квадратичным вычетом по модулю m, в противном случае число a называется квадратичным невычетом по модулю m.
Cимвол Лежандра:
Порядок нахождения символа Лежандра:
1. Если a = 1, то L(a, p) = 1.
2. Если число a чётное, то L(a, p) = L(a/2, p)*((-1)^((p^2-1)/8)).
3. Если число a — нечётное и a не равно 1, то L(a, p) = L(p mod a, a)*((–1)^((a–1)*(p–1)/4)).
Китайская теорема об остатках. Решение системы уравнений на её основе.
Т.чисел 8. Система сравнений. Китайская теорема об остатках
Генерирование простых чисел. Теорема о доле простых чисел среди всех простых чисел. Числа Кармайкла. Понятие о вероятностных и детерминированных алгоритмах, тест Ферма. Его преимущества и недостатки.
Вероятностный метод. Именно его сегодня используют, в том числе, в вашем любимом банке. Как он работает? Очень просто — проверяется остаток от деления произвольного числа в степени N-1 на N, если остаток равен единице — вероятно, что число простое.
Теорема о распределении простых чисел
Лжецы Ферма [Numberphile] (числа Кармайкла)
Вероятностный алгоритм — алгоритм, предусматривающий обращение на определённых этапах своей работы к генератору случайных чисел с целью получения экономии во времени работы за счёт замены абсолютной достоверности результата достоверностью с некоторой вероятностью.
Введение в вероятностные алгоритмы (часть 27) | Криптография | Программирование
Детерминированный алгоритм — алгоритмический процесс, который выдаёт уникальный и предопределённый результат для заданных входных данных.
Тест простоты Ферма (часть 31) | Криптография | Программирование (преимущества и недостатки тут же).
Генерирование простых чисел. Тест испытание квадратным корнем. Тест Миллера-Рабина его преимущества и недостатки.
сука, ты запятые можешь ставить, долбоёб?
Чтобы проверить, является ли число n простым, достаточно проверить делители до квадратного корня из n.
Testing for Primality (Miller-Rabin Test)
Порядок решения уравнения x = sqrt(a) mod p при p=4k+1, привести пример.
Порядок решения уравнения x = sqrt(a) mod p при p=4k+3, привести пример.
Порядок решения уравнения x = sqrt(a) mod p. при n=p*q, p,q – простые числа.
сука, ебаная ты кляча, ты нахуя точки в начале предложения ставишь? как ты дожил до своих ста лет, придурок?
С остальными системами так же.
Криптосистема Эль-Гамаля. Атаки на криптосистему. Условия стойкости криптосистемы.
Шифр Эль Гамаля
Есть несколько типов атак, которые могут быть направлены на криптосистему Эль-Гамаля. Некоторые из наиболее известных атак включают:
1. Атака по выбранному шифротексту: Злоумышленник имитирует получение зашифрованных сообщений и анализирует получаемые отклики. Это позволяет ему раскрыть секретный ключ или зашифрованные сообщения.
2. Атака по выбранному тексту: Злоумышленник может получить расшифрованные тексты для определённых зашифрованных сообщений.
3. Атака с использованием общего модуля: Если два шифротекста были зашифрованы с одним и тем же публичным ключом, злоумышленник может использовать информацию из обоих шифротекстов для выявления секретного ключа.
4. Атака с использованием рекуррентной публичной экспоненты: Если публичная экспонента выбрана недостаточно случайно или имеет низкое значение, это может привести к уязвимостям криптосистемы.
Для обеспечения стойкости криптосистемы Эль-Гамаля важно соблюдать определенные условия:
1. Безопасное большое простое число (p): Параметр p должен быть большим простым числом, чтобы предотвратить атаки методом перебора.
2. Примитивный элемент по модулю p (g): g должен быть примитивным элементом группы вычетов по модулю p. То есть все элементы группы могут быть выражены в виде g в степени k, где k — это натуральное число.
3. Секретный ключ (x): Секретный ключ x должен быть случайно выбранным из диапазона [1, p-2].
4. Публичный ключ (y): Публичный ключ y = g^x mod p.
5. Разрешимость проблемы вычисления логарифма по модулю p: Для безопасности криптосистемы должно быть сложно вычислить логарифм по модулю p без знания секретного ключа x.
6. Артефакты шифрования: Не должно возникать информации из шифротекста, которая могла бы раскрыть секретный ключ x.