5_Kriptosistema_Mak-Elis
.pdfОкончание лекции 5
•В квантовом компьютере бит это квантовая система с двумя возможными физическими состояниями элементарной частицы: спин электрона в магнитном поле, энергетический уровень атома водорода, две поляризации фотона.
•Математическая модель состояния частицы описывается
вектором в 2-х мерном пространстве:
|
|
|
0 0 1 1 |
|
|
где |
0 |
, |
1 - состояния системы, а |
|
и |
|
|
|
|
0 |
1 |
амплитуды состояния.
(1)
- комплексные
Соотношение (1) называетcя квантовым битом или q-битом.
Квадраты модулей являются вероятностями обнаружения
частицы в соответствующих состояниях: |
0 |
, |
1 |
|
при измерении . 02 12 1
Состояние частицы выясняется только после измерения, а текущее (скрытое) состояние представляет собой линейную смесь (1).
2
Обозначения
Состояние кубита |
|
x |
0 |
|
0 1 1 принято |
||||||
обозначать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Или вектор-столбцом |
|
- кет-вектор, |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Или вектор-строкой |
|
|
|
|
- бра-вектор |
||||||
|
0 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Примеры. |
0 |
0 |
|
, |
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3
n- кубитовый регистр
1 |
2 |
3 |
|
n-1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
▪▫ |
▫▪ |
▪▫ |
|
▫▪ |
|
▪▫ |
|
|
|
|
|
|
|
В одном регистре сразу
может быть |
2 |
n |
возможных чисел |
|
С увеличением числа ячеек в регистре состояния частиц оказываются взаимосвязанными (сцепленными). Например система из 2-х кубитов может находиться в состоянии
λ00│00>+ λ01│01>+ λ10│10>+ λ11│11>
При обобщении на n-кубитовый регистр по аналогии описывается линейной
комбинацией.:
2n 1
x 
x
|
x 0 |
где x 00 01 |
- состояние регистра |
4
Вычисление функции в кубитовом регистре
Пусть задана функция f(x), преобразующая n-разрядное число x в m-разрядное число f(x). Для описания функции можно построить таблицу
x |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
00000 |
001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
00001 |
010 |
|
|
|
|
|
2n |
строк |
|
… |
… |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11111 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
В квантовом компьютере достаточно лишь один раз выполнить преобразование f(х) исходного регистра из n ячеек, где содержатся все n-разрядные числа x и получить все значения функции.
Для ее записи нужно иметь m ячеек памяти Всего нужно иметь n+m кубитых ячеек..
5
x 
2
6
Идея квантовых вычислений
• Принцип квантовых вычислений заключен в увеличении
модуля комплексных амплитуд │λx0│тех состояний |
x |
, |
0 |
|
которые хотелось бы получить в результате считывания.
f (,x)
•Процесс вычисления – последовательность унитарных преобразований ненаблюдаемого состояния регистра.
Унитарное преобразование задается унитарной матрицей - Н. Матрица Называется унитарной , если H H где - комплексно сопряженная матриц Этим обеспечивается обратимость преобразования.
Для обратимых преобразований выполняется условие нормировки
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||
0 |
|
1 |
|
|
7
Задачи, решаемые с помощью квантового компьютера
•Проверка является ли булева функция константой
– алгоритм Дойча-Джоза.
•
Задача поиска решения уравнения f функция принимает значения (0,1) – Гровера.
(x) 1 |
, где |
алгоритм
•Квантовое преобразование Фурье.
•Задача факторизации числа – алгоритм Шора.
•Задача дискретного логарифмирования-алгоритм Шора
8
Алгоритм дискретного логарифмирования Шора на квантовом компьютере
Система шифрования Эль-Гамаля 1985г.
Корреспондент А 
Корреспондент В Пусть p -простое число; g - примитивный элемент.
Создание пары: закрытыйоткрытый ключи
A - генерирует число xA<p, вычисляет ОНФ
xA=gt (modp).
(SK= tA , PK= xA).
xA передается корр. B.
Шифрование сообщения
Пусть корр. B хочет послать корр.А сообщение m<p.
Генерирует случайное число k<p. Формирует криптограмму E=(c1c2)
c1=akmodp, c2=m (xA-1)k modp.
Отправляет E корр. А.
Алгоритм дискретного логарифмирования Шора на квантовом компьютере
Дискретный логарифм – это математическая задача обращения функции |
|
в |
||||||||||
|
||||||||||||
конечной мультипликативной |
абелевой группе |
G. |
Задача дискретного |
|||||||||
логарифмирования заключается в нахождении целого неотрицательного числа |
||||||||||||
, удовлетворяющего уравнению |
|
|
≡ , где p- простое число, g,t целые |
|||||||||
|
||||||||||||
положительные числа, g- элемент группы, имеющий порядок r. (Порядок есть |
||||||||||||
наименьшее положительное целое |
|
число, удовлетворяющее |
условию |
|
|
≡ |
||||||
|
|
|
||||||||||
1 , НОД( , ) = 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи дискретного логарифмирования |
t log |
g |
x(mod p) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассмотрим функцию , = |
|
|
|
. Эта функция является |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
периодической, причём имеет два независимых периода (r и t): |
|
|
|
|
|
|||||||
|
f ((a r), b) |
f (a, b) |
|
f ((a t), b 1) |
|
(1)
10